邻域，内点和内部
- 内点和邻域和内部
- 命题
- 命题 1.1
- 命题 1.2
- 命题 1.3
- 命题 1.4
- 命题 1.5
- 命题 1.6
- 一些结论
内点和邻域和内部
邻域(wiki)：If \(X\) is a topological space and \(p\) is a point in \(X\), a neighbourhood of \(p\) is a subset \(V\) of \(X\) that includes an open set \(U\) containing \(p\), such that
\[p\in U\sub V
\]
书上定义： \(A\) 是拓扑空间 \(X\) 的子集，点 \(x\in A\) 且存在开集 \(U\)，使得 \(x\in U \sub A\)，则称 \(x\) 是 \(A\) 的一个内点，\(A\) 是 \(x\) 的一个邻域（我这里和后面为了方便打字，记 \(x\) 的某个邻域为 \(U(x)\). \(A\) 的所有内点称为 \(A\) 的内部
命题
命题 1.1
\(A\sub B \to \mathring{A} \sub \mathring{B}\)
证明：
\[\dfrac{
\dfrac{
\dfrac{
\dfrac{
\forall x \in \mathring{A}
}{
\exist U(x) \sub A
}, A\sub B
}{
U(x) \sub B
}
}{
x \in \mathring{B}
}
}{
\mathring{A} \sub \mathring{B}
}
\]
命题 1.2
\(\mathring{A}\) 是包含在 \(A\) 中的所有开集的并集，因此是包含在 \(A\) 中的最大开集
令 \(E=\{S~is~open~|~S\sub A\}\)
要证
\[\mathring{A} = \bigcup_{S\in E}S
\]
- 左 \(\sub\) 右
\[\dfrac{
\dfrac{
\dfrac{
\forall x \in \mathring{A}
}{
\exist U(x) \sub A
}, generally, ~U(x)~is~open
}{
U(x) \in E
}
}{
\mathring{A} \sub \bigcup_{S\in E}S
}
\]
- 右 \(\sub\) 左
\[\dfrac{
\dfrac{
\dfrac{
\forall x\in \bigcup_{S\in E}S
}{
\exist S_0 \in E\to x\in S_0
}, \dfrac{
S_0 \in E
}{
S_0~is~open
}
}{
x\in \mathring{A}
}
}{
\bigcup_{S\in E}S \sub \mathring{A}
}
\]
命题 1.3
\(\mathring{A} = A \iff A\) 是开集
\[\dfrac{
\dfrac{
\dfrac{
\mathring{A} = A, \mathring{A}~is~open
}{A~is~open}
}{
\mathring{A} = A \to A~is~open
}, \dfrac{
\dfrac{
\mathring{A}~is~the~max~open~set, \dfrac{
A~is~the~max~set\sub A, A~is~open
}{
A~is~the~max~open~set\sub A
}
}{
\mathring{A} = A
}
}{
A~is~open \to \mathring{A} = A
}
}{
\mathring{A} = A \iff A~is~open
}
\]
命题 1.4
\((A\cap B)^{\circ} = \mathring{A}\cap \mathring{B}\)
- 左 \(\sub\) 右
\[\dfrac{
\dfrac{
\dfrac{
\dfrac{
\forall x \in (A\cap B)^\circ
}{
\exist U(x) \sub A \cap B
}
}{
\dfrac{U(x) \sub A}{x\in \mathring{A}},
\dfrac{U(x) \sub B}{x\in \mathring{B}}
}
}{x\in \mathring{A}\cap \mathring{B}}
}{
(A\cap B)^{\circ} \sub \mathring{A}\cap \mathring{B}
}
\]
- 右 \(\sub\) 左
\[\dfrac{
\dfrac{
\dfrac{
\dfrac{\forall x\in \mathring{A}\cap \mathring{B}
}{
\dfrac{x\in \mathring{A}}{
\exist U_1(x)\sub A
},
\dfrac{x\in \mathring{B}}{
\exist U_2(x)\sub B
},
U_1, U_2~is~open
}
}{
(U_1\cap U_2) \sub A\cap B}\land (U_1\cap U_2)~is~open
}{
x\in \mathring{B} \sub (A\cap B)^\circ
}
}{
\mathring{A}\cap \mathring{B} \sub (A\cap B)^{\circ}
}
\]
命题 1.5
\((A\cup B)^{\circ} \supset \mathring{A}\cup \mathring{B}\)
\[\dfrac{
\dfrac{
\dfrac{
\dfrac{
\forall x \in \mathring{A}\cup \mathring{B}
}{
Assume~x\in \mathring{A}
}
}{
\exist U(x) \sub A\sub (A\cup B)
}
}{x\in (A\cup B)^\circ}
}{
\mathring{A}\cup \mathring{B} \sub (A\cup B)^\circ
}
\]
命题 1.6
\((A\cup B)^{\circ} \sub \mathring{A}\cup \mathring{B}\) 有时不成立
例如当 \(A=(-1,0], B=[0, 1)\) 时
\((A\cup B)^{\circ} = (-1,1)\)
\(\mathring{A}\cup \mathring{B} = (-1,0)\cup (0, 1)\)
什么样的点 \(x\) 不是 \(A, B\) 的内点，却是 \(A\cup B\) 的内点呢
一些结论
通过命题1.3 可以得到一个判断集合是否是开集的判定条件，后面通过闭包也可以得到判断集合是否是闭集的判定条件：
- \(\mathring{A} = A\iff A\) 是开集
- \(\bar{A}= A \iff A\) 是闭集
自此我们可以看出，\((0, 1]\) 既不是开区间也不是闭区间
浙公网安备 33010602011771号