小睿说测量 14｜轴承沟道半径合格，为什么轮廓仍可能不合格？

同一条沟道轮廓，在软件里换个拟合方式、收窄取区，报告上的半径和残差就可能变了。这些数字各自在说明什么？

这一期，我们从深沟球轴承的沟道截面出发，算一个可以复现的例子。先说结论：半径合格，只说明按约定方法得到的半径满足要求；沟道各处的形状是否满足要求，还要另行评价。 把一条曲线压缩成一个半径，必然会留下没有表达的信息。

先认清我们测的是哪一条线

深沟球轴承的沟道，是钢球滚动经过的曲面。用一个包含轴承轴线的平面切过沟槽，可以看到近似圆弧的截面。本文所说的沟道半径，就是描述这段截面圆弧的半径。它不同于轴承内外径，也不同于钢球自身的半径。

图1 从轴承正视图中的含轴线剖切平面 到拆出内圈后的沟道扫描 x沿轴向 z表示轮廓高度

如果沿着沟道绕轴线走一周，得到的是另一条轮廓，关注的是周向圆度、波纹度等特征。截面圆弧拟合得好，不能代替绕轴一周的测量。 Taylor Hobson 的深沟球轴承应用资料也分别讨论了沟道的形状、半径、表面纹理，以及套圈和滚动体的圆度、波纹度。[1]

图2 含轴线截面中的沟槽圆弧与绕轴一周的周向轮廓 比例及波纹幅值为示意

半径描述圆弧 残差保留细节

实际采集到的轮廓是一串坐标点。软件拟合一个圆，就是寻找圆心和半径，让这个圆尽可能贴近选定的点。这里采用几何最小二乘圆：计算每个点到圆心的距离，再减去半径，使这些差值的平方和最小。

本篇以 x 表示截面横向位置，z 表示截面高度。设第 i 个点为（xᵢ，zᵢ），圆心为（a，b），半径为 R。径向残差定义为：

eᵢ = √[(xᵢ − a)² + (zᵢ − b)²] − R

坐标和半径均用 mm，算出的 eᵢ 也用 mm；画成 μm 时乘以 1000。正值表示点离圆心比圆弧更远，负值表示更近。这不是竖直方向的高度差。尤其面对凹形沟槽，残差图向下的负峰，不能直接叫作表面凹坑。

图3 径向残差沿圆心与测点连线计算 更近为负 更远为正 图中偏差夸大 用于说明方向和符号

拟合圆可以移动圆心、调整半径，吸收一部分整体差异，却无法跟随每一处局部变化。残差曲线把这些留下的差异按位置展开。本文用 PV 表示残差最大值减最小值，用 RMS 表示残差平方平均后的平方根。PV 给出所选区间的最大残差跨度，RMS 反映所选点的整体偏离水平。最小二乘直接最小化的是平方和，不能据此保证 PV 也最小。

用同一条合成沟道算三次

下面全部是教学合成数据，不是真实零件测量结果。我们设设计半径 R0 为 5.200 mm，以半径 5.208 mm 的圆弧为底，以基底圆弧的沟底方向为 0°，两侧按正负角度定位。在约 +25° 处叠加一个朝圆心方向、峰值 4 μm 的局部变化，再加一项幅值 0.15 μm 的规则起伏。完整生成公式和数据随文提供，不加入随机噪声，也不模拟测针、滤波或仪器误差。

沿 −35° 至 +35° 每隔 1/6° 生成一点，共 421 点。这些角度只是本次模拟定位点的方式，不是推荐的行业测量范围。所有点在拟合中采用相同权重；改变采样分布或权重，也可能改变拟合结果。

我们先对全部点做两次计算。A 允许圆心和半径一起调整；B 把半径固定为设计值 5.200 mm，只调整圆心。然后再做 C：保留中央 −18° 至 +18° 的 217 点，重新做自由圆拟合，并只统计这段的残差。

算法与取区	半径 R / mm	评价点数	残差 PV / μm	残差 RMS / μm
A 全区自由圆	5.203014	421	4.715	0.825
B 全区固定设计半径	5.200000 （固定输入）	421	4.992	0.844
C 中央区自由圆	5.206895	217	0.446	0.107

这里保留多位小数方便复算，不代表真实仪器具备相应测量能力。5.208 mm 只是生成数据所用的基底圆半径；加入局部变化后，自由拟合得到的半径会改变。

假设教学图样只对半径给出 5.200 ± 0.010 mm，A 的半径就落在这个示例范围内。但它的残差 PV 仍有 4.715 μm，约 +25° 的局部特征清楚可见。半径满足这一项要求，与局部形状仍有明显偏离，可以同时成立。 真实零件是否因此不合格，要继续对照它实际适用的形状要求，不能拿本例的 PV 直接判废。4.715 μm 也不能直接当作局部特征的物理深度，因为它跨越整个选区取最大差值，并随参照圆改变。

固定半径 改变的是允许调整什么

A 回答的是：这段轮廓最接近哪个圆？B 回答的是：如果圆的半径必须为设计值，这些点还会留下怎样的差异？少了半径这个调整自由度，B 的残差分布和整体平方和都发生了变化。

表中 B 的 5.200000 mm 是人为给定的输入，不能把它当成测得的半径，再宣布半径误差为零。 另外，B 仍允许圆心移动，所以它也不等于把轮廓严格放回图样规定的基准位置。若图样还有位置、方向或其他约束，评价模型必须相应补充。

这解释了为什么两份报告都写“圆弧拟合”，结果却不一定能直接比较。圆心是否自由、半径是否固定、使用哪些点，都在决定这个数字的含义。首先应把这些设置对齐，再讨论软件或操作者之间的差异。

图4 A与B使用同一组421点 上方毫米尺度中曲线几乎重合 下方微米尺度中局部径向差异清楚可见

取区变窄 好看的结果未必来自更好的零件

C 的 PV 从 A 的 4.715 μm 降至 0.446 μm，差了十倍左右。整个过程没有加工零件，也没有修改原始点，只是把取区缩到中央 −18° 至 +18°，并用保留点重新拟合；主要局部特征位于右侧被排除的区域。

把 C 拟合出的同一个圆拿回来，与原先全部 421 点比较，PV 又达到 4.300 μm。注意，这里没有再次拟合。这个检查说明，窄区统计没有看到的形状仍在原数据中。它还提醒我们：取区一变，连半径也从 5.203014 mm 变成了 5.206895 mm。

短圆弧还有一个容易忽略的问题：不同半径的圆，在很短的一段上可能十分接近，轻微的形状扰动就可能明显改变拟合半径。因此，不能仅凭窄区残差更小，就认定半径也更可靠；实际取区还要兼顾可测范围、功能范围和结果稳定性。

取区本身有必要。倒角、过渡段或不属于规定功能面的部分，不应随意混入目标圆弧。但边界应来自图样、双方认可的方法或已验证的工艺规则，并在看结果之前确定。Taylor Hobson 的沟道应用资料列出了按最低点、斜率位置或相对中心距离的百分比确定区域的做法。[2] 这些说明自动取区可以明确规则，不能据此把某个范围认定为所有轴承的通用要求。

图5 灰色区域不参与C的拟合与区内统计 下方虚线仍保留这些点相对C模型的偏离

从残差走向判定 还差哪些条件

读到这里，还要防止另一种误用：把最小二乘残差 PV 自动叫作图样上的“线轮廓度”。PV 是本文定义下的计算结果；正式几何公差是否合格，还取决于公差带、基准约束、关联方法和评价范围等要求。 只有这些条件明确且方法适用，计算结果才有对应的判定意义。

真实测量还多了一层：测针能否进入目标位置，针尖几何与补偿怎样处理，采样是否足够，滤波有没有削弱局部特征，重复装夹后结果能否复现。发现尖峰，可以检查污染、异常点和采集状态，但不能只因删除后数值更好看就删点。半径靠近限值时，也应结合测量不确定度和约定的判定规则处理。

局部几何值得重视，因为它参与决定接触状态。SKF 的摩擦模型讨论了钢球与曲面滚道的密合程度、接触中的滑动及润滑因素。[3] 但一条二维残差曲线不足以直接推算整套轴承的噪声、摩擦或寿命；还需要载荷、材料、装配、润滑及实际验证。

把评价条件和结果一起留下

对日常检验，值得多保存的不是另一个孤立数字，而是能把结果重新算出来的信息：原始轮廓、取区边界、采用的拟合模型、必要的预处理设置，以及同一坐标下的残差曲线。比较两次测量时，这些信息往往比多报一位小数更有用。

在 MEASIX 软件套件中的衡准 Metrivon里规划这样的工作流，可以把同一原始轮廓、选区边界和拟合参数关联起来，再并列查看半径与残差。像本例的 A、B、C 比较，关键是能追溯“换了模型还是换了数据”，避免数值变小后找不到原因。软件已具备通用脚本与配置底座；专用沟道拟合、结果记录和判定方案仍需开发，并用已知几何数据、标准件及重复测量验证。

沟道半径概括总体弯曲，残差展现局部偏离。 把两者连同评价区间和拟合规则写进报告，读者才能知道检验覆盖了哪里，也能用原始数据重新核对结果。

参考资料

[1] Taylor Hobson 深沟球轴承测量。用于区分沟道截面与周向评价项目。

[2] Taylor Hobson 滚道测量。用于理解多项评价与按规则选择分析区域。

[3] SKF 摩擦模型与工程应用。用于接触几何、滑动与润滑的定性背景。

核验于2026年10月10日。教学数据与复算说明。