小睿说测量 10｜齿轮单啮只差10角秒，转起来到底差在哪？

封面 两组同样大小的角差，在一圈里以不同节奏反复出现。概念场景用于引出问题，精确曲线和数值见正文。

两份单啮报告，最大到最小都差21.6角秒。能说这两对齿轮转得一样匀吗？还要看角差在一圈里怎样变化：既看多大，也看变化得多快。

我们用两组教学曲线拆开看。A一圈起伏2次，B一圈起伏40次，角差都在−10.8到+10.8角秒之间。让输出轮理想情况下每秒转一圈，B偏离理想转速的最大幅度却是A的20倍。这个差别，就藏在同样一段微小角差用了多少时间里。

先展开两份相同的21.6角秒

先认清这个单位。角秒用″表示，是角度单位，1°=3600″。 因此10.8″=0.003°。它描述齿轮多转或少转了多大的角度；时间秒则用s表示。

如果报告只留一行“峰峰值21.6″”，A和B确实相同。把曲线放到同一组坐标里，差异就很明显了：A在一圈里慢慢起伏两次，B在同一圈里反复起伏40次。两条曲线最高、最低的数值一样，横向的疏密却完全不同。

图1 两组输出角误差使用相同的角度范围与纵轴。A一圈起伏2次，B一圈起伏40次，峰峰值都为21.6″。横轴是根据输入角折算的理想输出角，颜色在全文保持一致。

曲线在零线上方，表示输出轮沿前进方向比理想位置超前；在零线下方，表示落后。曲线从低处往高处走，意味着输出轮此时比理想运动转得快；从高处往低处走，则表示它比理想运动转得慢。

这就把“位置偏了多少”和“转动快慢怎样变化”连到了一起。要看清它，先要知道纵坐标那一点角差是怎么量来的。

45.003度读数 怎样算出10.8角秒

本文始终看同一种教学几何：20齿输入小轮带动40齿输出大轮。齿数就是一只齿轮周围的轮齿总数。小轮转一圈，大轮理想情况下转半圈；输入转90°，理想输出就应转45°。

两只外齿轮实际上反向转动。这里分别沿各自前进方向记正角度，起点也按同一啮合状态建立。这样，两边都能用正数比较已经走过多少。

单面啮合测量，简称单啮测量，把两轴之间的距离（中心距）保持在设定值，通过适当的驱动与制动力矩，让参与啮合的轮齿在规定工作侧接触。两根轴各有一个角度编码器，分别读取轴的实际角位置。[1]

图2 两个角度编码器分别读输入与输出，齿数关系给出理想输出位置，再与实际位置比较。两轮按20/40齿和45mm中心距的教学几何绘制，反向转动；读数演算独立标在图下方。

“单面”指接触侧。前一对齿还没退出，后一对已经进入时，两个齿对可以同时在各自的工作侧接触。测量并不要求任意时刻只能有一对齿接触。

现在取A中的一个时刻：输入编码器读90.000°，输出编码器读45.003°。理想输出和角差分别为：

理想输出 = 90° × 20/40 = 45°

输出角差 = 45.003°−45.000° = 0.003° = 10.8″

这个“实际输出位置减去理想输出位置”的差，叫传动误差TE，英文为Transmission Error。本文一直把它表示在输出轴上。继续旋转，对同一时刻配对的两路角度逐点做这笔减法，就得到图1的曲线。

这0.003°若换成长度，有多小？选定输出轮的分度圆半径为30mm，分度圆就是规定齿轮参数所用的参考圆。将10.8″换成弧度，再乘30mm，得到分度圆处的切向等效位移约1.57μm。弧度按弧长与半径之比计角；这里换算的是指定圆处的切向量，报告采用其他方向时，还要另核换算定义。

两路数据必须在方向、起点和采集时刻上对应。若把外啮合的负角度直接当成前进正角度，或者把先后两个时刻的读数凑成一行，减出来的差就会混进测量链本身的影响。比较A和B前，这些条件应先核对一致。

同样多转0.003度 A用125毫秒 B只用6.25毫秒

现在让输入轮保持120r/min。r/min表示每分钟转数；按20/40齿数比，输出轮理想应为60r/min，也就是每秒转一圈、每秒转360°。这里说的是理想速度，实际输出会随角差变化而略快、略慢。

为了让所有数字都能算回来，图1采用两条平滑的正弦曲线。正弦描述周期性起伏，本文把理想输出角记为φ，把两组输出角误差分别记为e_A和e_B：

e_A = 10.8 sin(2φ)，e_B = 10.8 sin(40φ)，单位为角秒

A一圈起伏2次，B一圈起伏40次。程序计算正弦时把角度转成弧度。其余条件相同，不把两条曲线相加。

从共同起点出发，都追踪到角差第一次达到+10.8″的位置：

• A要走过自身一个起伏周期的四分之一，也就是理想输出45°，用时45/360=0.125s，即125ms
• B也走过自身一个起伏周期的四分之一，但只需理想输出2.25°，用时2.25/360=0.00625s，即6.25ms

这里ms表示毫秒，1s=1000ms。两组角差同样从0增加到0.003°，B完成这段变化只用了A的二十分之一时间。

图3 两组从零误差到第一次正峰的轨迹，放在同一个时间坐标里。相同的纵向0.003°，A用125ms，B用6.25ms。两条时间尺按同一比例绘制；虚线连接各自起点与正峰，用于读取这一段的平均速度偏差。

把两段实际输出位置也列出来：

从共同起点到第一次正峰	A 每圈2次	B 每圈40次
输入轮转角	90°	4.5°
理想输出转角	45°	2.25°
实际输出转角	45.003°	2.253°
用时	0.125s	0.00625s
比理想位置多走	0.003°	0.003°

平均速度，就是这一段转过的角度除以所用时间。用“多走的角度”除以同一段时间，得到的便是这段平均速度相对理想速度的增量：

A：0.003° / 0.125s = 0.024°/s

B：0.003° / 0.00625s = 0.480°/s

0.480/0.024=20。原来同样是多走0.003°，在125ms里慢慢多走，和在6.25ms里多走，所对应的平均速度偏差已经相差20倍。

这两个数还只是各自从零误差到正峰这一段的平均值。到了正峰，角差马上要从增加转为减小；这个瞬间的速度，又应该怎样理解？

同样10.8角秒 速度波动为何差20倍

斜率可以理解为曲线在某个位置变化得多快。对“角误差—时间”曲线，一小段角误差变化除以一小段时间，就是这段的平均速度偏差；把时间段不断缩小，得到那个时刻的瞬时速度偏差。

因此，角差到达最高点时，曲线暂时变平，瞬时速度偏差为0；角差经过零线、曲线最陡时，瞬时速度偏差反而最大。角差最大的时刻，和速度偏离最多的时刻，不在同一个位置。

图4的速度曲线直接由前面两条正弦位置曲线求斜率得到，没有另外添加一组数据。

图4 上排仍是同幅的角误差，下排是由同一模型计算的瞬时速度偏差，两组共用纵轴。A角差到正峰的φ=45°处，其速度偏差过零；B的速度偏差峰值明显更大。理想输出转速为60r/min。

对本例同幅正弦曲线，瞬时转速偏差的峰值可以这样算：理想转速×角差峰值的弧度数×每圈重复次数。10.8″约为0.00005236rad，A代入60×0.00005236×2，B代入60×0.00005236×40，便得到下面的数值。

结果可以写成一张简短对照：

同一名义输出60r/min下	A 每圈2次	B 每圈40次
角误差峰峰值	21.6″	21.6″
每秒重复次数	2次	40次
瞬时速度偏差的正负峰值	约±0.0063r/min	约±0.1257r/min
相对60r/min的正负峰值比例	约±0.0105%	约±0.2094%

“每秒重复次数”就是这里的频率，单位Hz；两组分别为2Hz和40Hz。输入转速固定、角差都是同幅正弦时，一圈内重复次数变为20倍，瞬时速度偏差的幅值也变为20倍。表内数值经过舍入，精确比值按未舍入数据计算。两组在完整一圈的首尾，角差都回到0，因此全圈平均输出转速仍同为60r/min；区别是过程中的快慢起伏。

平均值与瞬时峰值要分开读。前一节的0.024°/s和0.480°/s，描述各自一段过程的平均增量；本节的±0.0063r/min和±0.1257r/min，描述整条速度曲线向正、负两侧摆动的最大幅度。它们采用不同观察方式，单位也不同。

这就解释了只看21.6″会漏掉什么：峰峰值保留了位置误差的总范围，却没有保留误差变化的节奏。较密的起伏，可以在同样的位置误差范围内形成更大的速度变化。

回到测量台 这两条曲线该怎样用

如果实际报告里的两个峰峰值一样，先把曲线按同一根参考轴的一整圈展开。查看大起伏在一圈里重复多少次，细密变化是否在相同齿角位置出现，再结合转速把“每圈几次”换成“每秒几次”。这样，才能判断你正在比较怎样的传动变化。

本例输出轮有40个齿，B一圈40次的节奏与每个齿依次通过的节奏对应。这个对应关系能指导检查，却还不能单独确定某个齿出了什么问题。 工件齿面、配对轮、装夹、轴系和角度采集等，都可能进入TE记录。可以按这几步继续：

1. 原位再测一遍。 保持方向、中心距、速度、负载和处理条件相同，用规定的工件角度基准对齐。先看那些起伏是否出现在相同位置
2. 再看变化跟谁走。 重装后差异明显，优先核查定位与轴系；某一齿角位置反复出现异常，再安排对应位置的齿廓、齿距等针对性检查，同时核对配对轮状态
3. 带着工况读结果。 需要比较不同速度或负载时，分别保存条件。实际齿轮在载荷和动态响应改变后，TE曲线本身也可能变化，不能只拿一条曲线改时间轴，就当作另一工况的实测结果[2]

衡准 Metrivon的现有单啮计算模块，可以由两轴角度和齿数关系得到以输出轴为参考的TE曲线，并去掉整段均值。用它比较工件时，把原始角度、输出参考轴、测试工况和处理规则连同曲线保留下来，峰峰值相同以后，仍然有数据可继续看波形和节奏。具体模板的单位与参数核对见随附资料。

最后，还要把“速度变化”和“声音大小”分开。传动误差是齿轮振动、噪声分析的重要线索；真正传到机壳和空气中的响应，还受载荷、转速、结构等因素影响。本文算出的20倍是给定教学曲线的速度偏差之比，不是噪声之比，也不直接给出合格结论。[2]

拿到一份单啮报告，可以先问得更具体：这21.6角秒是在一圈里缓慢变化，还是挤在每个齿通过的短时间内反复变化？ 再看相同位置是否重复、条件改变后怎样变化，报告里的小数字才会变成下一次检查的依据。

资料与复算

[1] FRENCO 单面啮合测量原理：固定中心距、工作侧接触和两轴编码器比较实际与理想角度。

[2] Gleason Intra SFTR 单啮测试：配对轮、静态与动态TE、装夹对准及不同速度负载的测量条件。

源包提供两组完整教学点列、角度与速度的独立复算、原创SVG及制图程序。几何换算、标准目录、软件固定版本与核验边界集中列于资料核验说明。