小睿说测量 08｜最大升程同样是8毫米，凸轮曲线为什么仍会超差？

设想有两根凸轮轴，报告上的最大升程都是8.000 mm。把整圈曲线叠起来，一根在上升段偏低、下降段偏高；另一根只在上升段的一小块区域鼓出来。若只核对最高点，两根都像是没有问题。

最大升程只回答“最多抬高多少”，整条曲线还要回答“转到这个角度时，应该抬高多少”。 后一个问题同时涉及形状和时机。这篇从测头究竟读到了什么讲起，再用两组可以复算的教学数据，看同样的8 mm怎样得到不同的判定。

先弄清这个8毫米量在哪里

凸轮可以把轴的转动，转变成从动件的移动。从动件就是贴着凸轮工作、随凸轮形状运动的零件；它的接触端可以是滚轮，也可以是平面等形状。凸轮轴转过一个角度，从动件便移动到相应位置。[1]

测量时，可以在规定的接触条件下，让位移传感器读取测量从动件的位置，同时由角度编码器记录凸轮轴转角。升程 h 是从动件相对于规定零位的位移；本文以规定从动件与名义基圆接触时的位置为零位，向上抬起为正。最大升程 H，就是整圈 h 中的最大值。

基圆是以凸轮回转中心为圆心、与凸轮轮廓相切的最小圆。它帮助描述凸轮的基本几何，但基圆半径、凸轮最高处到轴心的距离、从动件最大升程，是不同的量。[1] 在现场，升程零位应按方案从基圆段或指定基准建立，并控制噪声对零位的影响。

这里的8 mm指规定从动件的升程。若发动机中间还有挺柱、推杆或摇臂，气门位移还需要结合传动几何、间隙等条件另行确定。本文讨论的是低速几何测量中的从动件升程。

从凸轮外形到升程 要经过接触几何

拿着一张凸轮端面图，沿某个方向从轴心量到外轮廓，得到的是轮廓半径。让一个滚轮压在凸轮上，读取滚轮中心沿导向轴的位移，得到的则是这套接触几何下的升程。

“对心”指导向轴经过凸轮回转中心；不经过就称为偏置。“直动”则表示沿固定直线移动。对理想的、对心直动尖顶从动件，在角度对应关系也已确定时，可以用“接触点半径减基圆半径”得到升程。但换成滚轮后，接触点通常不在“轴心—滚轮中心”这条线上；滚轮中心的位置要由曲面相切关系确定。平面从动件的接触点同样会沿接触面移动。[1]

所以，比较曲线之前，要先核对测量从动件的形状、滚轮半径、导向轴是否偏置，以及理论曲线对应哪一种从动件。测量用滚轮与设计用滚轮尺寸不同，需要通过适用且经过验证的几何转换，统一比较条件。Adcole的ErrTran说明明确把基圆半径、从动件偏置和从动件半径列入升程文件转换参数。[2]

下文统一比较同一种规定从动件的升程—角度曲线。若图样要求的是实体轮廓的法向偏差，或者某种特定轮廓拟合结果，就应使用对应的偏差方向和拟合规则计算。

横轴上的0度 必须有来处

曲线横轴记作 θ，本文全部采用凸轮轴转角，一圈为360°。0°应由图样或测量规程指定的角度基准建立，例如定位槽、定位孔或另一被指定的特征。还要说清从哪一端看、沿哪个方向读正角度。编码器启动时显示0，并不自动意味着工件的规定位置就是0°。

如果测量对象是四冲程发动机，常见的配气图还会使用曲轴转角；在正常2∶1传动关系下，1°凸轮轴转角对应2°曲轴转角。两种角度不要混在一张偏差表里。本文的0.2°始终是凸轮轴角度。

理论曲线 h_N(θ) 给出图样希望得到的升程；测得并按规定基准处理后的曲线记作 h_M(θ)。下标N表示名义曲线，M表示测量曲线。本文约定逐角度偏差为：

e(θ) = h_M(θ) − h_N(θ)

e为正，表示这个角度抬得比名义值高；e为负，表示抬得低。两条曲线必须对应同一个角度、同一种从动件、同一个升程零位定义，单位也要一致。

整圈数据还可能来自不同轴向截面。凸轮有宽度，一条截面曲线代表相应位置；图样要求多个截面或整个表面时，应覆盖规定范围。HOMMEL-ETAMIC的公开资料分别列出凸轮形状、角位置、凸轮高度、基圆半径等测量项目，也说明了整周和不同区域的评价。[2] 专用测量机关注这些项目，正因为一个峰值包不住全部几何信息。

两个最高点相同的教学零件

为了把数字算清楚，我们自己构造一条名义曲线。以下全部是教学数据和假设的教学图样要求，不是实测报告，也不是通用凸轮公差。

先定义一个从0平滑增加到1的函数：

p(u) = 10u³ − 15u⁴ + 6u⁵，0≤u≤1

u只是某一段转角的完成比例。例如上升段从60°到180°，总共120°；转到120°时，u=(120−60)/120=0.5，表示上升段走到一半。

这条曲线按以下规则计算，h的单位为mm：

• 0°≤θ<60°：h_N=0
• 60°≤θ≤180°：u=(θ−60)/120，h_N=8p(u)
• 180°<θ≤300°：u=(300−θ)/120，h_N=8p(u)
• 300°<θ<360°：h_N=0，并按360°周期重复

这条教学曲线在各段交接处保持升程、斜率及斜率变化率连续，便于复算；实际设计还需满足具体机构的运动要求。最大值为8 mm，出现在180°。

现在做两种改变。

教学件A：整条曲线晚到0.2°。 写成 h_A(θ)=h_N(θ−0.2°)。每一个升程状态都晚出现0.2°，形状完全保留，最大值仍是8 mm，只是到达峰值的角度变成180.2°。

教学件B：只在上升段局部抬高。 在110°—130°内增加一个光滑小鼓包，中心120°处增加0.030 mm，也就是30 μm；区间外完全不变。中心点的升程从4 mm变为4.030 mm。整个改动区间的名义升程都低于5.23 mm，即使处处增加0.03 mm，也低于5.26 mm；180°处原有的8 mm峰值又没有改变，因此整圈最大升程依旧是8 mm。

假设这张教学图样要求最大升程为8.000±0.010 mm，同时规定：保持给定角度基准，整周每个角度的升程偏差都应在−0.020至+0.020 mm之间，不允许为验收自由旋转曲线。这里先用理想数据直接比较限值，不加入实际测量不确定度。

在0°、0.1°、0.2°……359.9°的3600个点上，结果如下：

教学曲线	最大升程 / mm	最小偏差 / μm	最大偏差 / μm	按本例要求判断
名义曲线	8.000	0.000	0.000	两项均满足
A 整体晚到0.2°	8.000	−25.000	+25.000	峰值满足，曲线超差
B 局部增加30 μm	8.000	0.000	+30.000	峰值满足，曲线超差

A的最小偏差出现在120.1°，最大偏差出现在240.1°；B的最大偏差出现在120.0°。这些角位置可用于定位复测。

表中偏差保留三位小数，判定使用未舍入结果。1 mm=1000 μm，因此0.020 mm就是20 μm。本例判定分别核对正偏差和负偏差；“最高点减最低点”的峰峰值，则需要与该指标自己的要求比较。

只晚0.2度 为什么会差出25微米

看上升段中间的120°。名义曲线的升程是4.000000 mm。教学件A晚到0.2°，此刻的升程还只相当于名义曲线119.8°时的值：

h_A(120°) = h_N(119.8°) ≈ 3.975000185 mm

e_A(120°) ≈ 3.975000185 − 4.000000 = −0.024999815 mm

换成微米，就是约−25.000 μm，已经低于本例的−20 μm下限。下降段则相反：晚到意味着“还没降到应有的位置”，因而出现正偏差。

斜率描述升程随角度变化的快慢。这里120°处的斜率为0.125 mm/°。这种沿角度方向的提前或晚到，就是这里所说的相位偏移。相位偏差很小时，可以用局部斜率估算：

e_A(θ) ≈ −δ × dh_N/dθ

δ是晚到的角度，本例为+0.2°。于是−0.2°×0.125 mm/°=−0.025 mm，和上面的精确计算接近。这也解释了为什么同一个角度偏差，在陡峭侧翼上很明显，在峰顶附近却不明显：峰顶处斜率为0。

这个式子还给测量调试一个提醒：角度与位移若没有正确同步，时间延迟也可能表现为相位偏移。若凸轮轴以60 r/min匀速转动，一圈需1 s，角速度为360°/s；两个通道若相差1 ms，对应角度便相差0.36°。实际测量转速仍按设备与测量方案确定。发现两侧成对偏差时，要核对工件的角位置，也要排查角度基准和采集同步。

局部偏差 集中在哪一段

教学件B的鼓包用以下规则生成。令q=(θ−120)/10，在110°≤θ≤130°内：

e_B(θ) = 0.030(1−q²)³ mm；区间外 e_B=0

再令 h_B=h_N+e_B。在120°，q=0，偏差恰为+30 μm；在110°和130°，q为−1和+1，偏差平滑回到0。到180°峰顶时，这个局部改动早已结束，H当然仍为8 mm。

用公式还能算出超差发生在哪一段。令0.030(1−q²)³=0.020，可得：

|q| = √[1−(2/3)^(1/3)] ≈ 0.355555

因此偏差超过+20 μm的开区间约为116.444°到123.556°，宽约7.111°（按未舍入端点计算）。这比只写“最大偏差30 μm”多告诉我们一件实用信息：异常集中在哪一段、覆盖多宽。现场复查时，可以据此找对应接触区域，再通过清洁复测、装夹检查等证据，区分几何变化与测量过程的影响。

局部形状还会改变升程随角度变化的快慢。一阶导数dh/dθ描述这种变化率，二阶导数描述变化率本身怎样改变。在从动件始终接触、机构按给定几何运动且转速恒定的理想条件下，若θ用弧度、角速度ω用rad/s，则从动件速度v=ω·dh/dθ，加速度a=ω²·d²h/dθ²。

这些关系解释了侧翼和过渡段为何值得关注。从低速几何曲线进一步推算实际气门运动，还需计入摇臂传动、转速变化、间隙、弹性和接触状态。COMSOL的径向凸轮示例也把从动件速度、加速度与接触力分别计算，并检查弹簧能否维持接触。[3] 离散数据求导还会放大噪声，采样、插值和滤波规则必须随分析说明，动态结论则需要与相应模型或试验条件一起验证。

对齐以后重合 能不能就算合格

把教学件A的角度整体往回移0.2°，两条曲线会完全重合，形状残差变成0。这是对它的构造方式做了逆操作，说明“整体晚到”足以解释该教学差异。

但本例图样要求相对于指定角度基准比较。为看清形状而进行的对齐，不能擅自改变验收基准。 如果直接把对齐后的零残差作为最终结论，原来那0.2°的时机差就从报告里消失了。

有些图样或规程确实允许按规定拟合方法，把角位置偏差和形状偏差分别评价。这时需要事先写清可调整的参数、拟合区域和准则，并分别保留相位结果与形状结果。相位有没有超差，要用相位自己的要求判断；拟合时只调整规程允许的自由度。

类似地，重新拟合升程零位、任意调整幅值或加强滤波，也会改变被比较的结果。诊断图可以有多种视角，正式结果则要能说明采用哪一套规则。对齐方式本身，就是测量结论的一部分。

现场怎样把曲线结论做实

面对“8 mm正确、曲线超差”的结果，复核顺序可以很具体：先确认测量的确是图样要求的从动件升程，再检查角度基准与同步，随后查看偏差集中在哪个角度区间，最后按规定方法重测并结合其他证据定位原因。

几项容易影响结论的条件，应随结果保留下来：

• 工件编号、凸轮编号和轴向截面，防止拿错对象或位置
• 理论曲线版本、从动件形状与尺寸、升程零位定义
• 角度基准、观察方向、旋转方向，以及角度和位移的同步关系
• 采样角度间隔、原始点列、插值或滤波规则、允许的拟合自由度
• 最大升程、带正负号的偏差极值、对应角位置，以及实际采用的允许带

本文0.1°间隔是为教学复算选的网格；实际间隔应按峰值、窄小缺陷和设备能力验证。等时间采样也只有在转速足够稳定或已经按实测角度处理后，才可按约定作为等角度数据使用。有限采样、传感器性能、装夹与重复性带来的不确定性，应纳入测量方案；接近限值时还要依据约定的判定规则处理。[4] 设备测量精度与工件允许偏差也应分别核对。

在麦睿菱发布的 MEASIX 软件套件中，这类检查可以用衡准 Metrivon的工步组织采集，经预运算得到升程偏差曲线，再把最大升程、最大偏差和最小偏差分列为测量项，分别设置单位与限值。结果还应带上偏差发生的角位置，便于回看对应曲线。理论曲线、测头几何转换和允许的角度拟合方法，要随项目配置或实现，并经过验证。

比较一批历史曲线时，还应保证每条记录的角度起点、步长和处理口径一致，让同一个数据点确实对应同一个角位置；统计控制边界与图样允许带分别使用。

回到开头的8 mm。它仍然是有用的尺寸结果，只是不能独自替整条曲线作答。在规定接触几何和基准下，既核对最高升程，也核对各角度应有的升程，才能发现“高度到了，时机或局部形状仍不对”的情况。 报告保留这些对应关系，超差才有位置可查，有规则可复算。

资料与复算

[1] 凸轮与从动件几何：CMU Cams、METU Cam Mechanisms

[2] 升程转换与凸轮测量项目：Adcole ErrTran、HOMMEL-ETAMIC Formline 第27—31页

[3] 运动与接触条件：COMSOL 径向凸轮机构示例

[4] 不确定度与判定：JCGM 106:2012

源包包含可编辑SVG、教学CSV点列、复算及制图程序。数值比较使用0.1°角度网格；局部允许带交点由公式求得。