小睿说测量 07｜一条双啮曲线，整周误差和齿间误差到底怎么算

一条齿轮双啮曲线，最高点与最低点相差约24 μm，某个局部窗口里却只相差约5 μm。报告上的两个数可以同时正确，因为它们观察的角度范围不同。

读懂这张报告，先要知道曲线纵坐标测的是什么，再确定横向窗口有多宽。整周指标看被测齿轮一整转；齿间指标看任意一个齿距范围。这里的“任意”很关键：窗口起点可以移动，也可以跨过记录中的0°。

测头跟着哪一段距离移动

双面啮合测量，通常简称双啮测量。被测齿轮与一个测量齿轮在规定测量力下紧密啮合，让轮齿左右两侧的齿面参与接触。一根轴的位置固定，另一根轴能沿两轴中心连线方向微量移动。齿轮转动时，齿的几何变化会让这根浮动轴向外或向内移动，位移测头记录相应的中心距变化。[1][2]

中心距 a 就是两根平行齿轮轴线之间的距离，通常以 mm 表示。测量齿轮也常被称作标准齿轮，它提供已知且受控的啮合参照。它自身的制造偏差、磨损、安装状态仍会影响结果，因此其规格、状态及适用性需要与测量方案配套。

角度编码器提供转角 θ。本文的横轴始终是被测齿轮的转角，被测齿轮转满360°构成一整周记录；测量齿轮转了多少圈，取决于两轮的齿数关系。不要把测量齿轮的一圈，直接当成被测齿轮的一圈。

为让微小起伏看得清楚，图上常画中心距相对于某个常量 a₀ 的变化 δa=a−a₀，并把单位改成 μm。μm 是微米，1 mm=1000 μm。减去同一个常量只会把整条曲线上下平移，最高点与最低点的差不变。

例如 a₀=80.000 mm，某点 a=80.006 mm，则 δa=+6 μm；另一个点 a=79.997 mm，则 δa=−3 μm。两点之间中心距变化为9 μm。这个9 μm不是齿厚，也不是某一齿面的齿廓偏差；它来自两个齿轮共同啮合时的中心距读数。

两侧接触 怎样变成轴座移动

可以把双啮理解为：测量力持续把两轮推向彼此，齿面接触又限制了它们还能靠近多少。随着轮齿转动进入和离开接触，满足这种接触条件的中心距略有变化，浮动轴承座便跟着移动。

图中用两个放大的局部状态说明这个转换：左边轮齿正常进入，右边将参与接触的齿面人为画得略厚。为了维持双侧接触，浮动部分需要向外让开一点。测头读取的是这个让开的位移。真实齿轮的中心距变化还取决于接触位置、压力角和同时接触的齿对，因此齿厚多了多少，与测头移动多少，不能按一比一直接换算。

测量力的作用是维持规定的接触状态。它的大小和施加方式属于规定测量条件，需要按设备及工艺要求控制；超出规定调整后，原结果的可比性需要重新核验。

和单面啮合 比较的是哪一个量

单面啮合测量把中心距保持在规定值，通过适当的制动力等条件，让每个参与啮合的齿对在一个工作侧齿面接触；两根轴的角度编码器记录输入与输出转角，比较实际转角关系和理论转角关系。[4] 这里的“单面”描述接触的是轮齿哪一侧，不表示永远只有一对齿接触。

双啮则让轴间中心距浮动，在双侧接触条件下读取距离变化。两种方法用不同的运动自由度承接误差：一个允许中心距微动，一个固定中心距后观察转角关系。因此双啮的几微米径向综合偏差，不能直接当作单啮的转角传递误差。

综合偏差里 综合了什么

一次中心距记录会同时受齿轮几何、安装状态、测量齿轮及测量机构影响。某些不同的影响可能让曲线在同一位置一起抬高，也可能部分抵消；接触位置随转动变化，影响关系也随之改变。因此，径向综合偏差描述的是规定啮合条件下的综合结果，不能把几个单项偏差数值简单相加得到它，也不能从一个峰值唯一反推出某个齿的齿形偏差。[5]

测量齿轮的价值，是提供适合被测轮并且经过控制的啮合参照，让不同工件能够在相同条件下比较。它并不是数学上“完全无误差”的齿轮。记录其编号、齿数、使用状态及采用的误差处理口径，有助于后来区分工件变化与参照变化。测量齿轮若有局部异常，随着自身转动也会进入接触；只看被测轮角度轴上的一根尖峰，还不足以直接指认被测轮某一齿出了问题。[1][5]

把整圈的最高点和最低点找出来

极差，就是一组数的最大值减最小值。整周径向综合偏差用这一操作描述一整转中中心距变化的总范围。

本篇采用ISO 1328-2:2020的记号：径向综合总偏差写作 F_id，一齿径向综合偏差写作 f_id；“整周”“齿间”是下文便于读图的简称。旧资料和部分仪器界面仍会出现 F_i″、f_i″，对照报告时还应核对所引用的标准版本。[1]

F_id = max a(θ) − min a(θ)，θ覆盖被测齿轮一整转

max表示取最大值，min表示取最小值。也可以把式中的 a 全部换成 δa，结果相同；前提是前后单位统一。若以mm计算，最后乘1000，便得到μm。

这里用一条自行构造的曲线演算。设被测齿轮有30个齿，记录3600个等角度点，依次为0°、0.1°、0.2°，直到359.9°。中心距变化定义为：

δa(θ) = 10 cos θ + 2 sin(30θ)，单位 μm

计算正弦、余弦时，要先将角度换成弧度：θ_rad=θ_deg×π/180。10 μm与2 μm是两项的幅值。第一项在一圈中变化一次，形成缓慢的大起伏；第二项在一圈中变化30次，叠成较密的小起伏。这是解释窗口的数学模型，两项并不分别等于实测偏心与实测齿形误差。

在这3600点中，最大值约为+11.986295 μm，最小值约为−11.986295 μm，所以：

F_id ≈ 11.986295−(−11.986295) = 23.972591 μm

这里不能直接用2×(10+2)=24 μm替代结果，因为两项各自到达峰值的角度并不重合。测得或生成了点列，就按实际点列找最大值和最小值。

把窗口缩到一个齿距

30个齿均匀分布在一圈，一齿距角 p_θ 为：

p_θ = 360°/z = 360°/30 = 12°

z是被测齿轮齿数。p_θ是角度范围，与沿圆周量出的长度齿距不同。

现在只看81.3°到93.3°这个12°窗口。附带点列中，窗口内最高点出现在86.7°，最低点出现在93.3°。对应读数分别约为+2.551017 μm和−2.551017 μm。相减得到：

R(81.3°) ≈ 2.551017−(−2.551017) = 5.102034 μm

一齿径向综合偏差 f_id 的定义关注任意一个齿距内最大的中心距变化。于是，要让这个12°窗口沿整圈移动，分别求每个窗口的极差，再从这些极差里取最大值。[1]

R(β) = max a(θ) − min a(θ)，θ位于[β，β+p_θ]

f_id = max R(β)，β遍历一整周的窗口起点

β是窗口起点，R(β)是该窗口的极差。区间两端的方括号表示包含端点。一齿距限定的是观察范围的宽度，最高点与最低点可以出现在窗口内部，不要求恰好相隔一个完整齿距，也不要求分别位于窗口的两端。

对于这组3600点，按0.1°步长移动窗口，得到 f_id≈5.102034 μm。81.3°至93.3°是取得最大值的窗口之一。这样，同一条曲线给出约23.973 μm的整周结果和约5.102 μm的齿间结果，两者分别回答全圈变化多大、一个齿距内最多变化多大。

把程序做的两次找最大 展开看

先从刚才81.3°到93.3°窗口的121个点里摘出5个。表中的两个分量只属于教学构造，合计才是送入本次计算的中心距变化。小数保留六位便于相减；程序使用未四舍五入的数值。

角度θ / °	10cosθ / μm	2sin30θ / μm	合计δa / μm
81.3	+1.512608	−1.975377	−0.462768
84.0	+1.045285	0.000000	+1.045285
86.7	+0.575640	+1.975377	+2.551017
90.0	0.000000	0.000000	0.000000
93.3	−0.575640	−1.975377	−2.551017

这些摘点方便读数，寻找极值仍要检查窗口内的全部121点。若最高点恰好落在未摘出的角度，只用这5行会漏掉它。

接着移动窗口，窗内的最大值、最小值也会变化。下图用同一条曲线画出几个真实窗口结果：横向区间是窗口本身，右侧逐行列出本窗的最高值、最低值和二者之差。先完成每一行的减法，再比较最后一列，才得到f_id。

有时相邻的若干窗口会得到同一个最大极差。例如最高点86.7°和最低点93.3°相距6.6°，它们能一起装进不止一个12°窗口。只要窗口仍同时包含这两个极值，该窗口的极差就不会改变。报告中的“最不利窗口”可能有多个；软件返回第一个，只是一种定位规则。

整周结果也不等于把30个齿间结果相加。F_id在全圈取一次最大减最小，f_id则从许多相互重叠的窗口极差中取最大，两者都没有“沿圈累加”这一步。

12度窗口为什么需要121个点

从0°数到12°，如果每0.1°取一个点，共有120段间隔，却有121个点。就像尺上0到10之间有10个小格，两端一起数却有11条刻线。

在本例中，一齿距覆盖的间隔数 q 为：

q = N/z = 3600/30 = 120

N是一圈保存的点数。每个闭区间窗口应包含第k点、第k+1点，一直到第k+120点，共121点。若只取120点，首尾之间实际相隔11.9°，窗口悄悄变短了。

这里的点编号从0开始，编号0对应0°。如果从编号813的点开始，角度就是81.3°，窗口末点编号为933，对应93.3°。程序读取索引813至933，首尾都取到。下一次从814开始，窗口就读到934。用这种“点编号—真实角度—闭区间”的对应关系检查实现，比只看函数名称是否写着“滑窗”更可靠。

正式采样还要保证点数与角度分辨力足以捕捉变化。ISO 1328-2:2020对电子测量提出每齿距至少30个采样点的要求。[1] 本例每齿距有120个等角度间隔，是为复算选择的网格，不是对任何设备的精度保证。将一圈细化为36000点后，教学结果变为 F_id≈23.972736 μm、f_id≈5.102234 μm，说明有限采样仍会影响找到的峰谷。

如果实际的一圈点数不能被齿数整除，N/z就不是整数。此时应按真实角度定义窗口，并采用约定的边界处理或插值规则，不能随意把N/z四舍五入后，就认定窗口仍恰好是一齿距。

到360度以后 接着看0度

齿轮没有在0°处切开，数据文件却往往从那里开始。为了看清这个差别，再构造一条非常简单的周期折线：358°处为+6 μm，2°处为−6 μm；0°、4°、356°处为0，其余大部分角度也为0，相邻结点用直线连接。

看350°到362°这个窗口。362°等同于下一圈的2°，所以窗口里同时有+6和−6，极差为：

6−(−6) = 12 μm

如果程序只在0°到359.9°的数组内部移动，到了数组末尾就停下，两个极值便永远不会出现在同一个窗口里，得到的最大局部极差只有6 μm。

固定分段也会出现类似问题。把一圈预先切为0°到12°、12°到24°，直到348°到360°，本例的正峰和负谷落在首尾两个段中，每段最多只有6 μm。若仅将这条周期曲线在角度轴上平移6°，正峰和负谷就会分别落到4°与8°，同一固定分段又算出12 μm。曲线形状没有变，固定分段的结果却随起点改变。

正确表达任意一齿距的周期滑窗，两种起点下都得到12 μm。这也说明：固定分段与连续移动的窗口，有时恰巧给出同一结果，但不能仅凭一次算例相同就当成同一种算法。

保存单圈数据时，0°和360°通常只保留一个，避免重复记录同一角位置；计算跨零窗口时，再将开头的数据按角度加360°临时接到末尾。这里是计算上的周期延拓，现场若另采一圈，还应检查两圈是否具有足够的重复性，不能用拼接掩盖不连续的真实记录。

去掉大波以后 计算的量也变了

回到第一条教学曲线。如果先减掉10cosθ这一项，只剩2sin(30θ)，残差的峰峰值就是4 μm。峰峰值仍指最大值减最小值。它小于原曲线的一齿距最大极差5.102 μm，因为原来缓慢变化的分量，在12°内同样会贡献中心距变化。

低通滤波可以提取较缓慢的分量；用原曲线减去它，能帮助观察较快的起伏。这样的分析有用途，但所得残差极差要单独说明。按ISO 1328-2:2020规定的径向综合公差评定时，不能先用滤波消除偏心影响，再把所得数值直接套入该标准公差。[1]

再做一次可复现的改变：保留全部3600个原始点，只把90.0°这个采样点额外加上12 μm。原来该点为0，现在变成+12 μm，其他点完全不动。这根尖峰是我们明确加进去的教学扰动。

送入计算的数据	整圈极差 / μm	12°周期滑窗最大极差 / μm
原教学曲线	23.972591	5.102034
减去10cosθ后的残差	4.000000	4.000000
原曲线90°单点加12 μm	23.986295	14.551017

加尖峰后，全周最大值由约11.986295 μm变为12 μm，所以整圈极差只增加约0.013705 μm；局部窗口却可以把这个新峰与附近的低谷同时收入，得到12−(−2.551017)=14.551017 μm，发生明显变化。两个指标对同一局部变化的反应可能很不一样，只看整周数值接近原值，会漏掉这个重要区别。

由于这个点是人为加的，教学程序可以将它恢复为原来已知的0，计算结果便回到第一行。现场没有这样的“原来正确值”可直接取用：尖峰可能来自真实缺陷、附着物、测量齿轮状态、采集异常或其他原因。决定怎样处理前，需要对应现场证据与既定规则；从曲线上删掉一个难看的点，并不能证明工件恢复正常。

因此，原始曲线、处理规则和处理后的曲线应能对应查看。若使用插值修复，插值就是依据邻近点估计被替代位置的数值，这一步也应记录被替换位置及规则。只有“合格”或“超差”两个字，很难解释后来为什么重算出另一数值。

麦睿菱的齿轮啮合仪公开列有啮合参数、全跳、单跳、毛刺检测与中心距等测量项目。[3] 衡准 Metrivon 的现成双啮配置示例，将被测轮齿数与采样设置关联起来，再把标准轮误差处理、单圈截取及毛刺修复后的曲线送入整周和齿间计算。这样的编排让每个输出都能找到具体输入和前序处理；应用时应保留原始曲线，并把处理口径随结果记录。本文基准组保留全部分量，去长波与人为尖峰另列作对照，均未复现生产模板的测量齿轮误差处理和毛刺修复；具体生产算法还须与采用标准及经验证的配置逐项核对。仪器界面里的“单跳”，最终要能追溯到一条明确的计算规则。

读双啮曲线，可以先问两个很具体的问题：这一整圈属于哪只齿轮？计算时那把窗口尺到底有多长、怎样沿整圈移动？把这两件事确定下来，整周和齿间两个数就能从原始读数一步步算回来。综合曲线里可能同时包含多种几何与装夹影响；需要定位原因时，再结合针对性的齿廓、齿距、跳动等检测。

资料与复算

[1] ISO 1328-2:2020，3.1.6、3.1.8及4.4.3，公开预览中的定义与测量条件。官方标准页：原文 ；公开预览：原文

[2] KHK Gears，The ABC's of Gears B，双面啮合测量教学资料：原文

[3] 麦睿菱 MRling，齿轮啮合仪公开产品说明：原文

[4] FRENCO，Single Flank Test Machines，固定中心距、制动接触与两轴转角比较的测量原理。原文

[5] FRENCO，Double Flank Gear Roll Inspection，Applications，综合检测及误差来源说明。原文

我国现行对应标准为GB/T 10095.2—2023，等同采用ISO 1328-2:2020，2024年3月1日实施。国家标准信息平台：原文 。本篇用于讲清定义、窗口与教学复算，未列精度等级公差值；验收应以图样和采用标准的完整要求为准。