小睿说测量 06｜渐开线从哪个圆展开？把基圆和分度圆讲明白

把一根细线绕在圆盘上，拉紧线头，慢慢放开。线头走过的那条弯曲轨迹，就是渐开线。齿轮上常见的渐开线齿廓，可以从这个简单动作理解。

但圆盘应当有多大？如果拿图纸上最熟悉的分度圆来展开，画出的曲线就会偏离设计。渐开线从基圆展开。分度圆负责另一件事：把齿的大小、数量和参考几何联系起来。认清这两个圆，才知道测得的齿廓应该与哪条理论曲线比较。

先看齿长在外缘、齿线与轴线平行的圆柱齿轮，也就是外齿直齿圆柱齿轮。沿垂直于轴线的平面看它，得到本文讨论的端截面。后面所有圆、线和角都在这张平面上。

线放开多少 端点就走到哪里

先在圆上选一个起点 A，起初线头 P 就在 A。放线后，P 离开圆面，T 是此刻线与圆盘最后接触的位置。从 A 到 T 这一段圆弧上的线已经放开，成为拉直的线段 TP。T 叫切点，半径 OT 与 TP 垂直。O 是圆心。

线不伸长，也没有松弛，因此放开的圆弧有多长，TP 就有多长。继续放线时，T 沿着圆周移动，P 同时向外走。把不同位置的 P 连起来，就得到渐开线。用于展开的这个圆，叫基圆。[1]

这里有两个同时发生的动作：切点绕圆转，线段不断变长。渐开线的形状由两者共同决定，不能把它看作一个半径固定的圆弧。

记基圆半径为 r_b，单位 mm；切点从 A 转到 T 的角度数值记作 t，采用弧度。弧度用“弧长除以半径”表示角度，一整圈为 2π 弧度，等于 360°。π 是圆周率。于是已放开的弧长，以及拉直的线长，都等于 r_b t。

TP = r_b t

例如基圆半径为 10 mm，切点转过 0.5 弧度，放出的直线长度就是 5 mm。t 在后面的公式里是以弧度表示的展开参数，数值没有长度单位。

分度圆把模数和齿数联系起来

从齿轮端面看，外面一圈齿尖所在的圆叫齿顶圆，齿槽底部对应的圆叫齿根圆。分度圆是设计时使用的参考圆，通常穿过齿高的中间区域；它不要求在零件上有一条看得见的刻线。

在相邻两齿上取同一侧边界，例如都取左侧。它们之间沿分度圆量出的圆弧长度，叫分度圆齿距 p。齿数为 z，一圈就有 z 个这样的齿距。模数 m 用来表示齿的大小，定义为 p/π，单位 mm。由一圈周长 πd=zp，可以得到分度圆直径 d：[2]

d = mz

模数越大，齿的尺度越大；齿数越多，在模数不变时分度圆就越大。齿数 z 是计数，没有单位。

一个齿距里 还装着齿厚和齿槽宽

把分度圆上的一小段放大，会看到一段圆弧经过轮齿材料，另一段经过两齿之间的空隙。前一段叫分度圆齿厚 s，后一段叫分度圆齿槽宽 e。它们都是沿圆弧量出的长度，单位 mm。这里的齿厚要与齿轮沿轴线方向的厚度区分：后者通常叫齿宽。

p = s + e = πm

下面各图统一采用m=2 mm、z=40、参考压力角α=20°的教学齿轮。于是p=2π≈6.283185 mm。为了看清名义几何，本图选标准无变位、分度圆齿厚未作减薄的教学齿轮，此时s=e=p/2≈3.141593 mm。变位是设计时改变刀具相对齿坯的径向位置，由此改变一些齿形尺寸；实际齿厚还可能按侧隙等要求减薄，因此一般情况下要读取图纸给定值。侧隙是啮合齿面之间留出的间隙，名义齿厚等于半齿距，并不能单独说明一对装好的齿轮有没有侧隙。

对于z=40，分度圆齿距对应的角度为360°/40=9°，本例单齿名义齿厚对应4.5°。圆弧长度与角度的联系是“弧长=半径×弧度”：40 mm×(9π/180)≈6.283185 mm，与πm相同。模数、齿数、直径与齿距，到这里就由同一段圆弧连起来了。

要由分度圆找到基圆，还要知道参考压力角 α。先看齿廓上一点 P：在这里作一条垂直于齿廓的线，叫齿廓法线；再作一条垂直于 OP 的线，也就是过 P 的同心圆切线。两条线之间的锐角叫该点的压力角 α_P。它随 P 所在半径变化。P 恰好位于分度圆时，α_P 就等于参考压力角 α。[3]

渐开线有一个很有用的几何性质：图1中的拉直线段 TP，方向正是 P 点的齿廓法线。在直角三角形 OTP 中，OT=r_b、OP=r，而 P 处的压力角等于 O 处 OT 与 OP 的夹角，因此：[1][2]

r_b = r cos α_P

把 P 放到分度圆上，r=d/2，便得到常用关系：

d_b = d cos α = mz cos α

d_b 是基圆直径，单位 mm。对于常见的正压力角，cos α 小于 1，所以基圆位于分度圆里面。

参考压力角与两个圆的关系确定后，理论渐开线才有了正确的起点尺度。实际啮合中心距变化时，还会用到工作节圆和工作压力角；本文的 d 与 α 始终指图纸参数对应的分度圆和参考压力角。

把一条渐开线写成坐标

为了在电脑上画出曲线，把 O 设为坐标原点，起点 A 放在 x 轴正方向，y 轴朝上。图1采用一种展开方向；另一侧齿廓可按需要镜像和旋转。

切点 T 的坐标是 (r_b cos t，r_b sin t)。从 T 到 P 的线段长 r_b t，方向沿基圆切线。在图示展开范围内，TP 向右下方，横向增加 r_b t sin t，纵向减少 r_b t cos t。将“先走到 T，再沿切线走到 P”这两段位移的坐标分量相加，便直接得到：

x = r_b(cos t + t sin t)

y = r_b(sin t − t cos t)

x、y 与 r_b 的单位均为 mm。sin、cos 分别是正弦和余弦函数，用角度来表示一个方向在两个坐标轴上的分量；此处输入 t 必须用弧度数值。把 20 直接送入要求弧度的函数，表示的是 20 弧度，并不是 20°。

不想先记坐标式，也可以只看直角三角形。由 OT=r_b、TP=r_b t，根据勾股定理：

r = OP = r_b√(1+t²)

这条公式把展开多少与端点离圆心多远联系起来：t=0 时，P 就在基圆上；t 增大，P 向外走。

但 OP 朝哪个方向？这个方向角记作 φ，叫极角。切点的方向角是 t，而 OT 与 OP 之间还有一个角 α_P。直角三角形中，tan α_P=TP/OT=t，因此：

α_P = arctan t

φ = t − arctan t

tan 是正切函数；arctan 是反正切，给出正切值对应的角度。这里三个角的数值都用弧度。展开参数 t、局部压力角 α_P、极角 φ 分别描述不同的几何关系，画图时不能互换。

绳线为什么恰好沿着齿廓法线

“法线”是一条垂直于曲线局部走向的直线。要在弯曲的齿廓上找它，先想象用放大镜看P附近极短的一小段：这小段的前进方向，就是P处的切线方向。圆的切线与渐开线的切线，分别贴着不同的曲线，名称相同，位置和方向却不相同。

观察一个很小的展开动作：切点T沿基圆向前移动，同时放出的线段变长。切点沿切线前进的那一点距离，恰好被新放出的线长在相反方向的变化抵消；剩下的是绳段转动带来的侧向移动。因此线头P在这一瞬间沿垂直于TP的方向移动。因此，TP垂直于渐开线在P处的切线，正是齿廓法线。图中每个位置都保留一小段真实渐开线，便于看清“垂直于谁”。各小图分别放大局部，圆心O未画出。

如果愿意从坐标式再核对一次，可以求x、y随t变化的变化率。变化率就是t增加一小点时，坐标沿哪个方向改变；用上标′表示：

x′(t) = r_b t cos t，y′(t) = r_b t sin t

当t>0时，这个方向与OT的方向(cos t，sin t)相同。前面已知OT与TP垂直，所以渐开线切线也与TP垂直。基圆起点t=0时两项变化率为零，该处的切线方向要从邻近点趋近来理解，不能拿一个零向量当方向。

这也回答了压力角为什么会变。沿着同一条渐开线向外走，基圆半径r_b一直不变，OP=r逐渐变长。由cos α_P=r_b/r可知，局部压力角α_P随之增大。参考压力角20°只属于本例的分度圆交点，并不是整条齿廓上每一点的压力角。

仍用m=2 mm、z=40、α=20°，其基圆半径r_b≈37.587705 mm，三个半径位置的几何量如下。TP是已经放出的线长，φ是OP相对起点方向的极角。

所在半径r / mm	局部压力角α_P / °	展开参数t	线长TP / mm	极角φ / °
38.000000	8.447796	0.148519642	5.582512	0.061753
40.000000	20.000000	0.363970234	13.680806	0.853958
42.000000	26.498589	0.498550850	18.739382	2.066271

三个点由同一个基圆生成。在分度圆外取点，压力角大于20°；在基圆与分度圆之间取点，压力角小于20°。因此测量软件记录某一点的局部压力角时，必须知道它对应的半径，不能只从齿轮参数栏复制参考压力角。

模数2 齿数40 压力角20度 算一遍

取一只用于教学的直齿轮，m=2 mm、z=40、α=20°。先算两个圆：[2]

d = 2×40 = 80 mm

d_b = 80×cos20° ≈ 75.175410 mm

r_b = d_b/2 ≈ 37.587705 mm

分度圆半径是 40 mm，基圆半径约为 37.588 mm，两者相差约 2.412 mm。这个差值是两个参考圆的半径差，还没有涉及任何实测误差。

再找渐开线与分度圆相交的点。在这里 α_P=α=20°，所以：

t = tan20° ≈ 0.363970234

φ = tan20° − 20×π/180 ≈ 0.014904384 rad ≈ 0.853958°

式中 rad 表示弧度。尤其要留意减法：20°先换成约 0.349065850 弧度，才能与 t 相减。展开参数约为0.364，端点的极角却只有约0.854°，差别很大。

将 t 与 r_b 代入坐标式，得到 P≈(39.995557，0.596153) mm。再用勾股定理检查 √(x²+y²)，结果为40.000000 mm，恰好回到分度圆半径。保留这些小数是为了复算，不代表某台仪器具备这样的测量精度。

如果误把40 mm当成基圆半径，仍用同一个 t 生成点，得到的半径将变为：

40√(1+t²) ≈ 42.567111 mm

这已经是另一条理论曲线。它与正确曲线在相同 t 处的点相距约2.567111 mm。这里比较的是两种参数输入产生的几何结果，不能将这个距离填进齿廓总偏差的检验栏；正式齿廓评定还要明确设计齿廓、测量方向、评价范围、基准和修形。

改一个输入参数 哪些几何会跟着变

下面每次从基准组出发，只改变一项，压力角均指参考压力角。p是分度圆齿距，d_b是生成渐开线所用的基圆直径。

参数组	m / mm	z	α / °	d / mm	d_b / mm	p / mm
基准组	2.0	40	20	80	75.175410	6.283185
只改模数	2.5	40	20	100	93.969262	7.853982
只改齿数	2.0	50	20	100	93.969262	6.283185
只改压力角	2.0	40	25	80	72.504623	6.283185

第二组把模数放大1.25倍，齿距、分度圆与基圆也都放大1.25倍。第三组虽然得到同样大小的分度圆和基圆，齿数却变成50个，单齿距角缩到7.2°，轮齿排列与齿厚定位都与第二组不同。这说明“生成一侧曲线的基圆相同”，还不足以确定一只完整齿轮。

第四组保持m、z不变，分度圆及齿距不变，压力角改为25°后，基圆反而变小。下面把这两条曲线的基圆起点都放在+x方向，用同样的展开参数范围、同一坐标尺度比较，才能单独看清基圆改变对生成曲线的影响。

反过来看一条测量异常也更有方向：若整条理论曲线尺度不对，先核模数、齿数和基圆；若一侧曲线形状对，放在整齿中的位置却不对，再核齿厚定位和角度基准。正式评价还要把设计修形纳入理论齿廓，不能把所有差异都归到这三个基本参数。

基圆里面的齿根怎样连接

从 r=r_b√(1+t²) 可见，无论放线多少，得到的点都满足 r≥r_b。绳线展开得到的渐开线从基圆向外延伸，基圆以内不会出现这条渐开线。

实际轮齿需要接到齿根，那里通常由加工形成的过渡曲线连接。过渡形状与刀具、加工方式和齿轮设计有关。尤其当齿根圆位于基圆里面时，不能为了让绘图闭合，就把同一条渐开线强行延长到齿根圆。实际有效渐开线的起始位置，也要看过渡曲线、加工造成的齿根形状及设计要求。

从一侧曲线 到整只轮齿

坐标式先生成一侧渐开线。要把它摆成一只齿轮，还要按规定的分度圆齿厚旋转定位，再镜像得到另一侧，并按360°/z的角间隔复制各齿。外侧由齿顶圆截断，内侧接入符合设计与加工条件的齿根过渡。仅把一条曲线画得很光滑，仍没有完成这些定位和连接。

为使图中四个圆能算出来，这里明确采用标准全齿高、无变位的教学尺寸：齿顶高为m，齿根高为1.25m。因此齿顶圆半径r_a=r+m=42 mm，齿根圆半径r_f=r−1.25m=37.5 mm。r_a与r_f中的下标分别标识齿顶和齿根；这些附加尺寸假设只用于本图，并非所有齿轮都采用相同齿高。

本例由内向外依次是齿根圆37.5 mm、基圆约37.588 mm、分度圆40 mm、齿顶圆42 mm。基圆与齿根圆在这张图中非常接近，局部放大后才容易分开。更换齿数或齿高设计，两个圆的相对位置可能改变。它们各自的角色仍然清楚：基圆生成曲线，分度圆组织参考尺寸，齿顶与齿根圆界定相应的轮齿边界。

把理论曲线用于测量时，这些定义应当和点列一起留下。模数、齿数、压力角、所用截面、坐标原点与角度单位，少一项都可能让下一次比较变样。麦睿菱的衡准 Metrivon 是通用测量流程编排平台；在这样的流程里，把几何参数与计算步骤明确组织起来，有助于让结果可复查。重算一组齿廓点时，应同时调用这次数据对应的参数版本，避免后改的压力角悄悄改变旧结果。本文的渐开线公式提供独立教学计算，具体齿廓测量则配合适合的采样硬件与经验证的评价方法。

一条正确的理论齿廓，先要从正确的基圆出发。分度圆给出齿轮的参考尺度，基圆给出渐开线的生成尺度。把这两个圆及其间的压力角关系讲清楚，屏幕上的坐标才有了可以核对的几何含义。

资料与复算

[1] KHK Gears，Involute Tooth Form。绳线展开、基圆及渐开线法线的公开教学资料：原文

[2] KHK Gears，Calculation of Gear Dimensions，直齿轮计算表（含标准无变位尺寸）。原文

[3] KHK Gears，Pressure Angle，压力角两种等价几何定义。原文

配套文件提供原创SVG图源及独立教学复算程序。正文几何图按本文参数绘制，算例为教学构造。斜齿轮计算须先区分法向与端面参数。