小睿说测量 05｜曲柄半径对了，相位为什么还会错？

封面插画 单曲拐结构概念图，配色仅为区分部位

拿一个半径为 40 mm 的圆，在圆周上选两个点。它们到圆心的距离相同，方向却可以差很多。曲轴测量也会遇到同样的问题：一个中心离主轴线的距离对了，它所在的方向仍可能偏掉。这个方向通常用一个角度表示，叫作相位。

要读懂半径和相位，先看清我们在追踪哪个中心，再把坐标、计算和一组具体数字接起来。

先认清曲轴上的两种轴颈

轴颈，是轴上与轴承配合的那一段圆柱表面。曲轴上的主轴颈由主轴承支承，连杆轴颈则与连杆相连。连杆把活塞与曲轴连接起来。连杆轴颈偏在主轴线旁，连同两侧连接它的曲柄臂，构成一个曲拐。

图 1 先认部位。主轴颈和连杆轴颈是两种轴颈，曲柄臂连接它们；虚线表示各自的中心线。

图中先看两条中心线。对于这个理想的平行轴曲拐，主轴颈与连杆轴颈的轴线沿同一方向延伸，但并不重合。从轴的端部看，两条轴线各留下一个中心点。这两个点的间距，就是曲柄半径 r。

连杆轴颈还有它自身的半径 R_pin，表示这段圆柱有多粗。把轴颈磨细一些，改变的是 R_pin；把它的中心向外移，改变的才是 r。本文后面的计算，始终追踪轴颈的中心。

实际曲轴可能有多个曲拐，每个曲拐都要分别求出中心的距离和方向。厂家资料也将曲柄偏置和分度角列为独立测量项目；在这里，可以分别把它们理解为中心偏开多远、转过多少角度。[1]

测到中心以前 先定好坐标

假设我们已在屏幕上得到一个中心坐标 (40,0)。这两个数只有放进坐标系才有意义：原点在哪里？横轴朝哪里？这是轴颈中部，还是靠近两端的某一截面？

先确定基准轴 A，也就是后面比较位置时共同参照的那条轴线。它要按图纸指定的主轴颈和建立规则求得。本文用两端主轴颈的测量结果建立一条共同轴线作示意；具体零件采用哪些表面、如何求这条线，要由图纸和技术要求确定。

测量机有自己的旋转轴，装夹用的两顶尖也会形成一条轴线。它们与 A 可能偏开或倾斜。因此，设备采来的坐标通常还要换算，才能表示成相对于 A 的位置。这一步叫坐标变换。

再沿着轴的长度方向选好位置。我们把这个方向记作 z，并用规定的端面作为位置起点。在选定的 z₀ 位置，想象放一张垂直于 A 的薄纸，这就是评价截面：半径和相位都在这张“纸”上计算。

A 穿过纸面的点记作 O。连杆轴颈的中心线穿过纸面的点记作 C。这条中心线要根据测量点计算出来，后文会说明方法。先记住这两个点，后面的半径就是 O 到 C 的距离，相位就是 O 指向 C 的方向角。

图 2 在选定位置放一张垂直于基准轴 A 的“纸”，得到评价截面 z₀。轴线与纸面的交点为 O 和 C；O 所在位置未必有零件材料。

还需要一个角度零位，也就是从哪个方向开始算 0°。它可以来自图纸指定的键槽、销孔、基准平面，或某个参考曲拐。本文统一从 +z 端朝原点看，让 +x 向右、+y 向上，画面上逆时针为正；+x 就是 0° 方向。换到另一端观察，视觉上的顺逆时针会反过来，因此观察方向应与角度正方向一起记录。

这样，计算就有了固定的参照。若零位整体错了 0.1°，即使每个中心到 O 的距离都算对，全部相位仍可能一起偏掉 0.1°。

从表面点找到轴颈中心

测头接触的是表面，计算半径和相位需要的却是中心。接触式坐标测量常用一个小球作探针，设备记录的位置可能对应球心；探头补偿就是根据球的半径和接触方向，把这类读数换算成工件表面的位置。本文从已完成必要补偿、并已换到规定坐标系的表面点开始。

真实轴颈的截面总会有一点形状偏差，测得的点很难恰好落在同一个圆上。拟合，就是按事先选好的规则，找一个最能代表这组点的圆。这个圆的圆心，作为该截面的中心估计。

图 3 先用表面测点求一个代表它们的圆，留下圆心；再根据多个截面的中心估计轴线。图示拟合用于理解方法，现场规则按图纸与技术要求确定。

先看可按圆截面处理的一组点 (xₖ,yₖ)，k 只是点的编号。把待求圆心写成 (a,b)，待求半径写成 R。第 k 个点到这个圆心的距离 dₖ，可用勾股定理计算：

dₖ = √[(xₖ−a)²+(yₖ−b)²]

如果某个点恰好落在圆上，dₖ−R 就是零；落在圆外为正，落在圆内为负。把每个差值平方，也就是乘以自身，然后加起来，再调整 a、b、R，让这个总和尽量小，这种求圆的方法叫几何最小二乘拟合：

选择 a、b、R，使 Σ(dₖ−R)² 最小

Σ 表示把每个点对应的那一项加起来。平方让正负偏差不会互相抵消。本文让每个点在求和时占相同分量，用来说明算法。实际验收怎样取点、筛选和拟合，应与图纸和技术要求一致；拟合结果仍会受表面形状和测点分布影响。

一个截面得到一个中心。在连杆轴颈两端附近各测一个有效截面，就能初步看出中心沿轴向是否变化；测得更多截面，再用一条直线尽量代表这些中心，就能估计轴颈的轴线，这叫轴线拟合。也可以直接用表面空间点求一个代表轴颈的圆柱，再取它的轴线。两个截面能确定一条示意轴线，实际取点和截面数仍按测量方案确定。测点应避开倒角、圆角、油孔等非评价区域，屏蔽规则要在测量前确定。

假如选定的 z₀ 正好在两个已测截面中间，在轴线可用直线描述的模型里，z₀ 处的中心坐标就是两个中心坐标的平均值。若它更靠近其中一端，就按距离比例求对应的中间值，这叫线性插值。

把两个截面的位置写成 z₁、z₂，中心写成 C₁、C₂。在上述直线模型、坐标定义一致且 z₀ 位于两者之间的前提下，公式为：

C(z₀) = C₁ + [(z₀−z₁)/(z₂−z₁)] × (C₂−C₁)

这也解释了为什么应保留截面位置：轴颈若倾斜，不同 z 处算出的半径、相位会不同。显著倾斜时，垂直于 A 的截面未必是正圆，应采用匹配采样几何的圆柱或截面模型，不能强行把任意斜截面拟合成圆。

旋转式轴类测量机的采集方式有所不同。曲轴转动时，角度编码器记录“转到了多少度”，测头记录“沿测量方向移动了多少”，设备还要记录轴向位置。软件结合测头朝向、接触方式，以及测头怎样跟随偏置轴颈运动，才能从这些读数求出中心。[2]

测头沿自身测量方向移动多少，与从 O 向表面量出的距离，可能有不同的几何含义。把前一种读数直接当成后一种距离，求出的坐标就可能出错。使用设备导出的曲线前，应先弄清每个读数表示什么。

用中心的位置计算半径和相位

现在把 O 到 C 画成一根箭头。它既有长度，又有方向，数学上称为向量，记作 v。以 O 为原点后，v=(x,y)；x、y 分别表示中心沿横向、纵向偏开多少。

图 4 同一评价平面中，箭头 OC 的长度是曲柄半径 r，方向角是相位 φ。R_pin 表示连杆轴颈自身半径。图中主轴颈轮廓为投影示意。

r = √(x²+y²)

这仍是勾股关系。相位角用希腊字母 φ 表示，就是从 +x 零位方向转到这根箭头的角度：

φ = atan2(y,x)，再换算并归入0°≤φ<360°

atan2通常先返回弧度，本文最后统一换成度。弧度也是角度单位：整圈为2π弧度，等于360°，π为圆周率，因此弧度数乘180/π就是度数。当x、y同时为零时，向量没有方向，相位没有定义。对于非零向量，atan2同时看x、y的大小和正负来判断方向。常见的arctan(y/x)只看两数相除的结果，容易混淆相反方向：例如(40,0)和(−40,0)的y/x都为零，方向却分别是0°和180°；当x=0时，直接相除还会遇到问题。

图纸给定的目标值叫名义值，本文用下标 nom 标记；Δ 表示“实测值减目标值”的偏差。半径误差为 Δr=r−r_nom。相位误差还要处理角度绕一圈后归零的情况。本文把相位差折回 [−180°,180°)，即选取带符号的最短角差。例如名义 0°、实测 359.99°，误差应记作 −0.01°。若图纸对曲拐间夹角另有方向或范围规定，应按其规定计算。

Δφ = ((φ−φ_nom+180°) mod 360°)−180°

这里 mod 表示把角度折回一个周期，取非负余数。若软件的取余运算会返回负数，实施时还要相应调整。恰好相差 180° 时，本文范围统一记作 −180°。这些约定看似细小，却直接决定结果的符号。

曲柄半径还关系到活塞移动多远。对于常规无偏置曲柄滑块机构，也就是活塞沿一条经过曲轴旋转中心的直线运动的理想机构，活塞两极限位置之间的距离叫行程 S。它满足 S=2r，因此 ΔS=2Δr。比如 r 增加 0.010 mm，几何行程增加 0.020 mm。若机构存在偏置或其他特殊几何关系，应按对应机构计算实际行程；连杆轴颈自身半径 R_pin 不参与这里的两倍关系。

图 5 半径和相位可以分别变化。两者一起变化时，中心位置随之改变；右侧数值对应后文算例，17.176 μm 表示平面中心偏移。 μm 是微米，1 mm＝1000 μm。

用一组数字 看清两种误差怎样同时出现

设某曲拐的名义中心为 (40.000000,0) mm，名义曲柄半径 40 mm，相位 0°。下面从几个表面点开始算。为方便手算，教学模型中的轴颈均为理想圆柱，两轴平行，测量坐标轴与基准坐标轴方向一致，只存在原点平移。数据由脚本构造并复算，长小数用于复算，不表示仪器分辨力、实测精度或行业公差。

在测量坐标系中，z₀ 截面处连杆轴颈一条水平直径的左右端点为 (60.309997562,−0.186033876) mm 和 (20.309997562,−0.186033876) mm。理想圆的直径中点就是圆心：分别将两点的横、纵坐标相加除以二，得到 C_M=(40.309997562,−0.186033876) mm。下标 M 表示仍使用测量机原来的坐标系，后面的 O_M 也采用同样的记法。左右端点相距 40 mm，因此轴颈自身半径 R_pin=20 mm。

脚本用主轴颈的合成表面点拟合中心并建立轴线，得到它在同一截面内的位置 O_M=(0.300000,−0.200000) mm。两者相减，把原点移到主轴基准上：

C_M−O_M = (40.009997562,0.013966124) mm

这才是用于计算曲柄半径和相位的中心向量。上面的直径端点只展示理想几何的手算过程；真实轴颈存在形状误差，要用规定的采样与拟合方法求中心。配套计算说明另用多截面合成表面点拟合，交叉核对这一结果。

先把两个坐标代入勾股公式，得到 r≈40.010000 mm。与名义值相减，Δr=+0.010000 mm=+10.000 μm。μm 是微米，1 mm 等于 1000 μm。

再计算atan2(0.013966124,40.009997562)，得到约0.000349066弧度。乘180/π后，φ≈0.020000°，所以Δφ≈+0.020000°。1°等于3600角秒，这个角度也就是约+72角秒；计算时要认清函数返回的是弧度还是度。

表1 同一曲拐的半径 相位与几何行程

结果	名义值	教学计算值	偏差
曲柄半径 r	40.000 mm	40.010 mm	+10 μm
相位 φ	0°	0.020°	+0.020°
几何行程 S	80.000 mm	80.020 mm	+20 μm

还可以问得更直接一些：中心 C 距离它应该在的位置有多远？先减坐标，得到横向偏移约 +9.998 μm，纵向偏移约 +13.966 μm，再求这两个偏移分量的合成距离：

|C−C_nom| ≈ √(9.998²+13.966²) μm ≈ 17.176 μm

这组数让两种误差有了直观大小。半径变化主要沿径向，也就是朝着 O 或远离 O 的方向；角度变化主要沿切向，也就是沿圆周在该点的切线方向。两者合在一起，决定中心最终落在哪里。

在名义半径 40 mm 上，0.020° 的方向偏差，单独对应约 13.963 μm 的切向移动。小角度时，可以用“半径×角度”估计这个切向距离 δt，即 δt≈r_nom×Δφ，但 Δφ 必须先换成弧度；把 0.020 直接当弧度去乘，会放大约 57.3 倍。本例的纵向偏移略大于 13.963 μm，是因为实际半径也增加了 10 μm。

17.176 μm 在这里只表示这个截面的中心偏移距离。如果图纸要求评定“位置度”，还要检查被测轴线是否处在图纸规定的允许区域内。这个允许区域叫公差带，可能涉及整段轴线，以及指定的基准和其他条件。因此，单个截面的中心距离还不能直接用作正式轴线位置度结果。

现场核对时 从哪一步查起

如果半径重复性很好，相位却来回变，先检查角度零位能否稳定重建、角度和位移是否来自同一时刻，以及观察方向和正负号是否统一。若多个曲拐的相位一起偏移相近数值，角度基准或坐标变换值得优先检查。

如果同一轴颈靠近两端的结果不同，先核对截面位置，再检查轴线倾斜、采样区域和拟合模型。只给出两条空间直线的最短距离，可能把我们关心的 z₀ 截面位置关系藏掉。测量前还要确认曲拐回转空间、测头量程和可达性，控制支承、驱动及测力造成的变形。[2]

还有一种省事做法是“找到位移曲线最高点，把该处角度当相位”。在理想圆轴颈、理想平面测头沿已知方向跟随表面移动，并且角度约定一致的模型里，曲线最高点确实可以对应中心方向。但实际最大值还受表面局部起伏、测头接触几何和角度采样间隔影响。使用峰值法前，应先验证这条曲线的物理含义及适用条件；拟合中心方向和取原始曲线最大值是不同的运算。

报告除了半径和相位，还应留下基准建立方式、角度零位与正方向、z₀ 位置、测头与补偿设置，以及在哪里取点、如何处理数据。若使用滤波，也就是按约定规则保留或去除某些波长的轮廓变化，应记录对应设置。

结果靠近公差边界时，还要看重复测量的波动，并评估测量不确定度。后者用来描述测量结果可能有多大分散程度，不能只凭显示屏上的最后一位数字作判定。

把中心坐标交给 ARCTAN2

有了可信的中心坐标，计算程序可以拆得很清楚：输入同一基准下的 x、y，分别求向量长度和方向，再与名义值比较。衡准 Metrivon 中有可以完成这一步的通用函数，也就是软件里现成的计算指令。已核查的 ARCTAN2(x,y) 内部使用数学库的 atan2(y,x)，再把负结果加上 2π，输出 0≤角度<2π 的弧度值；RAD_TO_DEG 则把弧度转换为度。[3]

因此，在衡准 Metrivon 中组织这个相位计算时，顺序应为：

中心坐标 x、y → ARCTAN2(x,y) → RAD_TO_DEG → 相位角 φ

这里最值得核对的是两个坐标的输入顺序：数学式写 atan2(y,x)，衡准 Metrivon 的这条指令写 ARCTAN2(x,y)。本例应把 40.009997562 传给 x，把 0.013966124 传给 y。若把两者反过来，结果会接近 89.980°，而不是 0.020°；之后再做单位转换，也修正不了这个方向错误。

可以先用 (1,0)、(0,1)、(−1,0)、(0,−1) 四组输入检查方向，转换成度后应依次得到 0°、90°、180°、270°；再用靠近 360° 的输入检查相位差跨零处理。这样的小测试能在接入真实曲轴数据前发现输入顺序、单位和符号问题。

这两项函数接上的是“中心坐标→相位角”这一步。接入真实曲轴时，还需先完成采集、补偿、基准建立与中心拟合，并用实测数据验证整条计算链。

曲柄半径对了，说明中心到基准轴的距离对了；要知道中心是否到位，还得看它朝向哪里。把主轴基准、角度零位和评价截面固定下来，再从同一个中心向量计算半径与相位，两个结果才真正对应同一个曲拐的位置。

资料来源与计算说明

[1] Adcole官方曲轴计量资料，列有曲柄偏置、角度及位置相关指标。用于核实工业测量项目；本文向量计算和示例不代表厂家的完整内部算法。 曲轴计量

[2] Adcole 1200数据表及测头工装说明，用于核对该型号的位移与角度采集，以及从动测头、量程和工装选择。 1200数据表 测头工装

[3] 衡准 Metrivon通用数学函数的产品机制核验，核验日2026年10月6日。ARCTAN2的输入次序、角度范围及RAD_TO_DEG转换已核对；这里只证明中心坐标到相位角的计算步骤。

本文图形为原创教学示意，比例、偏移和角度按表达需要调整；数值算例由脚本复算。基准与拟合采用明确说明的教学模型，实际验收按零件图、技术约定和所采用标准执行。