小睿说测量 04｜圆度很好 为什么表针还在跳

封面插画 轮廓与参考圆的概念示意

把一根圆柱放到测量装置上，慢慢转一圈，表针来回摆动。读数最大值减去最小值，能不能直接填进报告里的“圆度”一栏？

先看它绕谁转。一个截面即使是理想圆，只要圆心偏离旋转轴，表针照样会跳；评价圆度时，我们还要按规定的方法为这条轮廓寻找参考圆心。参考对象变了，同一组点算出来的极差也可能改变。

这篇文章就沿着一次计算往下走：先取得截面上的点，再确定参考圆，最后算出径向偏差的峰谷值。算清这几步，圆度、偏心和径向圆跳动之间的关系也就清楚了。

先把截面和半径说清楚

想象用一个垂直于圆柱轴线的平面切过圆柱，切口边缘就是我们要评价的截面轮廓。轮廓上离选定中心最远的点、最近的点，分别决定了包住这条轮廓的外圆和内圆。两个圆共用一个圆心，叫同心圆；两圆之间的环带沿半径方向有多厚，就是在这个中心下的径向极差。

这里量的是半径差。若外圆半径比内圆大 4 μm，环带宽度就是 4 μm，不需要乘二。μm 是微米，1 μm 等于 0.001 mm。圆的直径当然是半径的两倍，但圆度的环带宽度按径向计算。

真正需要决定的，是把这对同心圆的圆心放在哪里。把圆心挪动一点，所有点到圆心的距离都会重新变化，最外点和最内点也可能换成别的点。圆度计算不能跳过“参考圆怎么定”这一步。[1]

一圈读数先变成一圈点

轮廓可以来自圆度测量仪的径向位移与转角，也可以来自坐标测量得到的平面点。无论设备怎样取得它们，计算时都需要知道这些数字对应什么位置、使用什么长度单位。

本文用平面坐标来讲。第 i 个点记作 Pᵢ=(xᵢ,yᵢ)，i 只是点的编号。假设选定的参考圆心 C 位于 (a,b)，点到圆心的距离记作 dᵢ，表示“第 i 个径向距离”。根据直角三角形的勾股关系，可以算出：

dᵢ(C) = √[(xᵢ − a)² + (yᵢ − b)²]

这一步很普通：横向差多少，纵向差多少，合起来求直线距离。所有坐标必须使用相同单位。算出全部 dᵢ 后，取其中最大值减去最小值：

Δ(C) = max dᵢ(C) − min dᵢ(C)

max 表示取最大值，min 表示取最小值。Δ(C) 后面带着 C，是为了提醒我们：眼前这个数属于所选圆心。

如果仪器给的是相对某个初始中心的转角 θᵢ 和径向读数，需要结合测量几何及半径信息还原点的位置；读数已经做过补偿时，也要保留补偿依据。角度只是“转到哪里”的位置标签，不能把一段没有角度对应关系的电压数组直接当作截面坐标。

图 1 先指定中心，再计算各点到中心的距离及其极差。径向差异已夸大，图形不对应实测零件。

先定圆心 再做一次减法

看一个固定圆心下的简单算例。假设这些点到该中心的最大距离为 10.003 mm，最小距离为 9.998 mm，那么径向极差为 0.005 mm，也就是 5 μm。

为了不总写很长的小数，软件常减去一个参考半径，把结果画成围绕零线上下波动的曲线。假设参考半径取 10.000 mm，刚才最外点的偏差是 +3 μm，最内点是 −2 μm。于是同一个结果可以写成：

3 − (−2) = 5 μm

减去同一个参考半径，只是把零线搬了位置，最大值与最小值之间的距离没有改变。这里的偏差也常叫残差，意思是测得的径向距离与参考圆半径之差。

但“最大绝对残差”做的是另一种运算：它只看哪一点离零线最远，本例得到 3 μm。只有最大正、负偏差恰好大小相等时，峰谷值才等于最大绝对残差的两倍。若残差为 +2 μm 和 −2 μm，前者为 4 μm，后者为 2 μm。报告里的名称、公式和单位要对应同一个量。

到这里，减法已经会做了。接下来最重要的问题是：刚才的圆心和参考半径，该用什么规则求出来？

最小二乘圆怎样选中心

最小二乘圆，英文缩写 LSC，是一种常见参考圆。它同时调整圆心与半径，让所有点的径向残差平方加起来最小。“平方”就是每个残差乘以自身；正负不会互相抵消，大残差受到的影响也更大。[1]

设参考半径为 R，目标可以写成：

选择 a、b、R，使 Σ[dᵢ(C) − R]² 最小

Σ 表示把所有点的项相加。本文各点等权，也就是每个点在这次求和中地位相同。中心给定以后，使这个平方和最小的 R 正好是这些径向距离的平均值；软件再调整中心，寻找整体最合适的位置。

最小二乘法选出使整组点残差平方和最小的参考圆。中心找到以后，本篇报告的LSC圆度峰谷值仍取最大径向距离减最小径向距离。拟合时优化的平方和，与最后报出的峰谷值，是两个不同步骤；也不要把残差的平均值或均方根当成这里的圆度结果。

最小区域圆怎样选中心

最小区域法，英文缩写 MZ，同样移动圆心，不过它直接追求最薄的包容环带：对每一个候选中心，都画出刚好包住全部点的外圆和内圆，再找出两圆半径差最小的位置。这对圆常称为最小区域参考圆，写作 MZC。[1]

最小区域圆度 = min_C [max dᵢ(C) − min dᵢ(C)]

下标 C 表示这次最小化发生在圆心位置上。求出最大半径和最小半径，只完成了某个中心的评价；继续寻找使它们之差最小的中心，才完成最小区域评定。

因此，LSC 和 MZC 可能给出不同中心，也可能给出不同峰谷值。两者使用同一组点、同样的预处理且正确求解时，最小区域结果不会大于 LSC 中心下的径向极差：LSC 的中心本来也在它可以选择的位置之中。不能因为最小区域法通常给出较小值，就在判定前临时换算法；评定方法应跟图纸、技术要求及约定一致。

把同一组八个点算成圆度值

下面这组数据由脚本生成，专门用于教学。以原点 O 为初始中心，每隔 45° 取一个点；除 0° 和 180° 两处外，径向距离都为 10000 μm，也就是 10 mm。八个点等权，不做滤波，不代替真实零件的整圈测量。

表1 八点教学数据 角度与径向距离

相对原点的角度	到原点的距离 μm	与10000 μm的差 μm
0°	10006	+6
45°	10000	0
90°	10000	0
135°	10000	0
180°	9998	−2
225°	10000	0
270°	10000	0
315°	10000	0

第一步，把角度与距离换成点坐标。横坐标等于距离乘 cos θ，纵坐标等于距离乘 sin θ；cos 和 sin 把同一条径向线投影到横、纵两个方向。例如 0° 的点是 (10006,0)，45° 的点约为 (7071.068,7071.068)，单位均为 μm。拟合用未舍入坐标，下面只为阅读保留小数。

第二步，先不移动中心。在原点 O 下，最大距离为 10006 μm，最小距离为 9998 μm，极差就是 8.000 μm。这个数回答的是“相对于原点的径向变化”。

第三步，按最小二乘目标求参考圆。数值计算得到圆心约为 (2.000100,0) μm，半径约为 10000.500100 μm。也就是说，参考圆心从原点向右移动了约 2 μm。0° 点距新中心约 10004.000 μm；45°、315° 两点距新中心约 9998.586 μm，成为最内点。45° 点的距离可以直接代入核对：

d₄₅° ≈ √[(7071.068 − 2.000)² + 7071.068²] = 9998.586 μm

再用最大距离减去这个最小距离，LSC 峰谷圆度为 5.414 μm。

第四步，按最小区域目标重新寻找中心。同样的八个点，圆心移到约(3.514538,0) μm时，外圆半径约为10002.485462 μm，内圆半径约为9997.515155 μm，环带宽度为4.970 μm。这里多写几位小数，是为了比较计算结果，不代表仪器准确度；求解及交叉核对方法见计算说明。

图 2 同一组八点的距离分布。图中统一减去 10000 μm；正文的 LSC 残差减去拟合半径 10000.500100 μm，因此零线相差 0.500100 μm，峰谷值相同。虚线标出最远与最近距离，散点不代表完整轮廓。

点没有改，变化的是选中心的规则。原点下为 8.000 μm，LSC 中心下为 5.414 μm，MZC 为 4.970 μm。LSC 获得更小的残差平方和，MZC 获得更薄的包容环带，两者各自完成了不同的优化目标。

再用这组数检查一次最容易混淆的算法：LSC 残差最大约为 +3.500 μm，最小约为 −1.914 μm；峰谷值为 5.414 μm，最大绝对残差却只有 3.500 μm。把后者乘二会得到 7.000 μm，仍然对不上。问题在取值公式，不能用一个固定倍数普遍修正。

回到那根还在跳的表针

圆度评价的是规定截面的形状，寻找参考圆时不依附于某根外部基准轴。径向圆跳动则先指定基准轴线，也就是图纸规定、测量时据以旋转的那条轴线，围绕这根轴转动，观察该截面的径向变化；它把截面相对基准轴的位置关系也带进了结果。[2]

可以用一个理想圆看得最清楚。假设圆半径为 10 mm，圆心相对基准轴偏开 5 μm。在理想径向测量几何下，转一圈的最大和最小径向距离相差 10 μm，也就是偏心量的两倍。这个截面的形状仍是完美的圆，圆度为零。

图 3 理想圆的圆度为零。相对基准轴偏心 e 时，理想径向测量的整圈峰谷差为 2e；偏心已夸大，虚线表示旋转半周后的位置。

实际指示表读数还会受到装夹、基准轴实现、测头方向及测量系统误差影响。只有布置符合被测量的定义，才有依据把它称为相应的径向圆跳动。若只是随手夹住零件转一圈，先称“一周指示值极差”更清楚。

有形状误差时，各种起伏会随角度叠加，最大值与最小值出现的位置也随之改变。不能把“跳动减去两倍偏心”当作通用圆度公式。软件里拟合一个一阶正弦，也就是每转起伏一次的正弦分量，再减掉，在小偏心等条件下可以帮助分离相应分量，但这一步并不自动等于完成几何参考圆拟合或最小区域求解。

算出的数还依赖哪些测量条件

到此为止，我们处理的是已经拿到的一组点。真实轮廓在采样点之间仍然连续存在，稀疏采样可能错过窄小凸起。上面的少点算例用于把计算讲明白，不能当成现场采样点数建议。

滤波也会改变参与评定的轮廓。圆度测量常以 UPR 表示沿一整转的起伏次数，例如三瓣成分一转起伏三次，对应 3 UPR。它与每秒多少次的 Hz 不是同一个坐标。滤波类型及所保留的 UPR 范围不同，结果就可能不同；截止值也不是把更高波数的成分一刀切掉，滤波器会按自身特性衰减不同波数的成分。只报“圆度 2 μm”，还不足以让别人复算。[1]

至少应一起留下截面位置、测量与基准布置、点数及角度采样方式、单位和标定依据、滤波与异常点处理、参考圆方法以及原始记录。重测前也要检查定心和调平；过大的装夹误差不能一概指望软件补偿。[2]

在衡准 Metrivon里追到这个数字的出处

把这条计算链放进衡准 Metrivon，最有用的是让输入、处理和结果保持可追溯：设备与逻辑传感器提供数据，计算项按公式组合处理，关键中间曲线与最终数值一同保存。具体圆度任务采用哪种采样几何、参考圆算法和滤波条件，仍需要在方案里明确并验证。[3]

检查现有项目时，也可以从结果倒着找：这一项取了哪条曲线？是否换算成长度？参考中心怎么求？最后取的是峰谷值，还是最大绝对残差？

已核查的一个齿轮双面啮合测量示例里，有名为Circularity的计算项，实际调用的函数取“低通曲线减拟合正弦”后的最大绝对值。低通处理用来衰减较快的起伏。它表达的是那条曲线的最大绝对残差，不能仅凭名字把它当作本文的LSC峰谷圆度或最小区域圆度。这个例子说明，查看公式和数据来源，比只看结果格的名称更可靠。[3]

回到最初的问题，表针还在跳，并不妨碍截面本身很圆。要判断眼前这个数字，先把参考中心或基准轴说清楚，再沿着采样点、参考圆、径向距离和取值公式逐步核对。这样，报告里的“圆度”才有一条可以重算、可以解释的来路。

参考来源

[1] Taylor Hobson，《Exploring Roundness》，参考圆、峰谷参数与滤波章节；NPL，《Software Support for Metrology Best Practice Guide No. 10》，第6.5节几何圆拟合。正文采用等权离散教学模型，不提供标准符合性判定。 Taylor Hobson资料 NPL指南

[2] Mitutoyo，《Quick Guide to Precision Measuring Instruments · Roundtest》。圆度与圆跳动、定心调平、参考圆方法。 三丰资料

[3] 衡准 Metrivon计算模型与齿轮双面啮合示例的产品机制核验，核验日2026年10月6日。所核函数输出最大绝对残差，用于说明结果名称必须与实际公式对应。

[4] 本文八点数据与图为原创教学算例。使用精确径向距离做几何最小二乘及最小区域数值求解，另作独立搜索与数值边界核验；无设备或标准件实测。

相关标准：GB/T 24632.1—2024《产品几何技术规范（GPS） 圆度 第1部分：词汇和参数》、GB/T 24632.2—2024《产品几何技术规范（GPS） 圆度 第2部分：规范操作集》。截至核验日，官方平台列为现行，均代替2009版；现场评定应按图纸及所采用标准的完整要求执行。 第1部分官方信息 第2部分官方信息