线性代数笔记第05讲 置换、转置和向量空间

5.1 置换矩阵（Permutation Matrix）

• 若 $\boldsymbol{P}$ 为置换矩阵，则$\boldsymbol{P}$ 是正交矩阵 ，即有$\boldsymbol{P}^T \boldsymbol{P} = \boldsymbol{I}$ ，$\boldsymbol{P}^T = \boldsymbol{P}^{-1}$ 。

• $n$ 阶方阵的置换矩阵有$A_n^n= \frac{n!}{(n-n)!} = n!$ 个。

3阶方阵的置换矩阵有6个：

\[ \left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right] \]

5.2 转置矩阵（Transpose Matrix）

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的转置矩阵记为 $\boldsymbol{A}^T$ ，且有$(\boldsymbol{A}^T)_{ij} = (\boldsymbol{A})_{ji}$ 。

5.3 对称矩阵（Symmetric Matrix）

对于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 若有 $\boldsymbol{A}^T = \boldsymbol{A}$ ，
则 $\boldsymbol{A}$ 为对称矩阵。

对任意矩阵 $\boldsymbol{R}$ 有$\boldsymbol{R}^T \boldsymbol{R}$ 为对称矩阵：

\[ (\boldsymbol{R}^T \boldsymbol{R})^T
=
(\boldsymbol{R})^T (\boldsymbol{R}^T)^T
=
\boldsymbol{R}^T \boldsymbol{R} \]

5.4 向量空间（Vector Space）和子空间（Subspaces）

向量空间（又称为线性空间）要满足加法封闭和数乘封闭。即向量空间中任意向量的数乘、求和运算得到的向量也在该空间中。因此所有向量空间都必须包含零向量。

设 $\boldsymbol{W}$ 是线性空间 $\boldsymbol{V}$ 的非空子集，则 $\boldsymbol{W}$ 是 $\boldsymbol{V}$ 的子空间的充要条件是：

1. 若 $\alpha,\beta \in \boldsymbol{W}$ ，则$\alpha + \beta \in \boldsymbol{W}$ ；
2. 若 $\alpha \in \boldsymbol{W} , k \in \boldsymbol{R}$ ，则$k\alpha \in \boldsymbol{W}$ 。