Note - 关于组合的一些结论

持续更新。

范特蒙德卷积

\[\sum _{i = 0}^{k} {n \choose i} {m \choose k-i} = {n+m \choose k} \]

组合上，这个相当于从 \(n+m\) 个物品里取 \(k\) 个，整体考虑和对 \(n, m\) 两部分分别考虑。

冰球棍恒等式

起名没绷住。

\[\sum_{i=x}^{n} {i \choose x} = {n+1 \choose x+1} \]

其中，\(x \ge 1\)。

组合上，考虑从后面推前面。对最大值分类讨论，当最大值为 \(k\) 的时候剩下的元素只能在 \([1, k-1]\) 里选出 \(x\) 个，即最大值为 \(k\) 的情况的方案数是 \(k-1 \choose x\)。又因为 \(k \in [x+1, n+1]\)，所以 \({n+1 \choose x+1} = \sum_{i=x}^{n} {i \choose x}\)。

代数上，考虑：

\[\begin{aligned} & \sum_{i=x}^{n} {i \choose x} \\ =& {x \choose x} + \sum_{i=x+1}^{n} {i \choose x} \\ =& {x+1 \choose x+1} + \sum_{i=x+1}^{n} {i+1 \choose x+1} - {i \choose x+1} \\ =& {x+1 \choose x+1} + {n+1 \choose x+1} + \left(\sum_{i=x+2}^{n} {i \choose x+1}\right) - \left( \sum_{i=x+1}^{n} {i \choose x+1}\right) \\ =& {n+1 \choose x+1} + {x+1 \choose x+1} - {x+1 \choose x+1} \\ =& {n+1 \choose x+1} \end{aligned} \]