Note - 布尔代数基础与 2-SAT

模拟赛出了一个 2-SAT，但是我连布尔代数基础都不会，如何做非模板 2-SAT……

由于笔者初三，且布尔代数基础是跟着 Wikipedia 自学的，因此可能有不严谨之处，请指教。

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布尔代数基础

本节参考了 Wikipedia 上的相关页面。

布尔代数是一个集合 \(A\)，其上定义了如下结构：

• 二元运算 \(\land\)：\(A \times A \to A\)；
• 二元运算 \(\lor\)：\(A \times A \to A\)；
• 一元运算 \(\lnot\)：\(A \to A\)；
• 以及常数 \(0, 1\)。

这些运算满足以下条件：\(\forall a, b, c \in A,\)

名称	形式 1	形式 2
结合律	\(a \land (b \land c) = (a \land b) \land c\)	\(a \lor (b \lor c) = (a \lor b) \lor c\)
交换律	\(a \land b = b \land a\)	\(a \lor b = b \lor a\)
吸收律	\(a \land (a \lor b) = a\)	\(a \lor (a \land b) = a\)
分配律	\(a \land (b \lor c) = (a \lor b) \land (a \lor c)\)	\(a \lor (b \land c) = (a \land b) \lor (a \land c)\)
互补律	\(a \land \lnot a = 0\)	\(a \lor \lnot a = 1\)

于是可以证明以下性质：（证明只给出形式 1，形式 2 同理）

名称	形式 1	形式 2
第一组有界律	\(a \land 1 = a\)	\(a \lor 0 = a\)
第二组有界律	\(a \land 0 = 0\)	\(a \lor 1 = 1\)
幂等律	\(a \land a = a\)	\(a \lor a = a\)
逆的唯一性	\(\forall a\ \exists! b\ [(a \land b = 0) \land (a \lor b = 1)]\)	（无）
\(0\) 与 \(1\) 互补	\(\lnot 0 = 1\)	\(\lnot 1 = 0\)
德·摩根定律	\(\lnot(a \land b) = \lnot a \lor \lnot b\)	\(\lnot(a \lor b) = \lnot a \land \lnot b\)
对合律	\(\lnot \lnot a = a\)	（无）

::::success[简要证明]
:::info[第一组有界律]{open}

\[\begin{aligned} &\because a \lor \lnot a = 1 \text{（互补律）} \newline &\therefore a \land 1 = a \land (a \lor \lnot a) = a \text{（吸收律）} \end{aligned} \]

:::
:::info[第二组有界律]{open}

\[\begin{aligned} & \because a \lor 0 = a\text{（第一组有界律）} \newline & \therefore a \land 0 = 0 \land (a \lor 0) = 0 \text{（吸收律）} \end{aligned} \]

:::
:::info[幂等律]{open}

\[\begin{aligned} & \because a \lor 0 = a \text{（第一组有界律）} \newline & \therefore a \land a = a \land (a \lor 0) = a \text{（吸收律）} \end{aligned} \]

:::
:::info[逆的唯一性]{open}
反证法，假设 \(\exists b \neq \lnot a, [(a \land b = 0) \land (a \lor b = 1)].\)

\[\begin{aligned} b &= b \land 1 \text{（第一组有界律）} \newline &= b \land (a \lor \lnot a) \text{（互补律）} \newline &= (b \land a) \lor (b \land \lnot a) \text{（分配律）} \newline &= 0 \lor (b \land \lnot a) \newline &= b \land \lnot a \text{（互补律）}. \newline \lnot a &= \lnot a \land 1 \text{（第一组有界律）} \newline &= \lnot a \land (a \lor b) \newline &= (\lnot a \land a) \lor (\lnot a \land b) \text{（分配律）} \newline &= 0 \land (\lnot a \land b) \text{（互补律）} \newline &= \lnot a \land b \text{（互补律）}. \end{aligned} \]

综上，\(b = b \land \lnot a = \lnot a\)，与假设矛盾，故原命题成立。
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:::info[\(0\) 与 \(1\) 互补]{open}

\[\begin{aligned} &\because 0 \land 1 = 0, 0 \lor 1 = 1 \text{（第一组有界律）} \newline &且\ 0 \land \lnot 0 = 0, 0 \lor \lnot 0 = 1 \text{（互补律）} \newline &\therefore \lnot 0 = 1 \end{aligned} \]

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:::info[德·摩根定律]{open}

\[\begin{aligned} (a \land b)\land(\lnot a \lor \lnot b) &= (a \land b \land \lnot a) \lor (a \land b \land \lnot b) \text{（分配律）} \newline &= (0 \land b) \lor (0 \land a) \text{（互补律）} \newline &= 0 \lor 0 \text{（第二组有界律）} \newline &= 0. \newline (a \land b)\lor(\lnot a \lor \lnot b) &= [(a \land b) \lor \lnot a] \lor \lnot b \text{（结合律）} \newline &= [(a \lor \lnot a) \land (b \lor \lnot a)] \lor \lnot b\text{（分配律）} \newline &= [1 \land (b \lor \lnot a)] \lor \lnot b \text{（互补律）} \newline &= b \lor a \lor \lnot b \text{（第一组有界律）} \newline &= 1 \lor a \text{（互补律）} \newline &= 1 \text{（第二组有界律）} \end{aligned} \]

由 \((a \land b)\land(\lnot a \lor \lnot b) = 0, (a \land b)\lor(\lnot a \lor \lnot b) = 1\)，得 \((a \land b)\) 的逆为 \((\lnot a \lor \lnot b)\)。
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:::info[对合律]{open}

\[\begin{aligned} &\because a \land \lnot a = 0, a \lor \lnot a = 1 \newline &\therefore \lnot \lnot a = a \text{（逆的唯一性）} \end{aligned} \]

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值得注意的是，布尔代数并没有规定集合 \(A\) 的大小，它不一定是 \(2\)。事实上，你可以把 \(\land\) 视为取并集、\(\lor\) 视为取交集、\(\lnot\) 视为取补集、\(0\) 视为空集、\(1\) 视为全集，容易证明 \(A\) 的大小是 \(2^n\)。

以下在 2-SAT 相关内容中讨论的布尔代数均为二元素布尔代数，即 \(A = \{ 0, 1 \}\)。

2-SAT

2-SAT 问题，全称 2-Satisfiability 问题，即给出 \(n\) 个布尔方程，每个方程形如 \(a \lor b\)，你需要给出它的一个可行解。2-SAT 的 2 得名于每个方程只与两个未知数有关，但是 \(k \ge 3\) 的 k-SAT 问题是 NPC 问题，故在此不作讨论。

我们观察单个方程 \(a \lor b = 0\)。思考我们能从这个方程中得到什么。我们发现如果 \(a = 0\)，那么 \(b = 1\)；类似地，如果 \(b = 0\)，那么 \(a = 1\)。也就是说我们得到了两组推导关系，即 \(\lnot a \implies b , \lnot b \implies a\)。

于是我们对 \(a_i, \lnot a_i\) 建点，对每一个方程的推导关系建边，建出了一个图。我们对这张图跑一个 Tarjan SCC。如果对于某一个 \(i\)，\(a_i\) 和 \(\lnot a_i\) 在同一个 SCC 中那么这个方程无解，因为 \(a_i\) 可以直接或间接地推导出 \(\lnot a_i\)，同理 \(\lnot a_i\) 可以推导出 \(a_i\)。否则，根据 SCC 编号顺序是拓扑序逆序的性质，我们选择 SCC 编号较小的一个作为解，因为其不可能推导出另一个状态。（当然如果你想较真，如果你能保证编号较大的一个不能推导出编号较小的一个那也可以，但是编码较为复杂所以一般不这么写。）

于是我们做完了。时空复杂度均为 \(\mathrm O(n)\)。

例题

似乎很多 2-SAT 的题都需要把限制转化成 \(\bigwedge_{i = 1}^{n}(a \lor b)\) 的形式。

P4782 【模板】 2-SAT

有 \(n\) 个布尔变量 \(x_1\sim x_n\)，另有 \(m\) 个需要满足的条件，每个条件的形式都是 「\(x_i\) 为 true / false 或 \(x_j\) 为 true / false」。比如 「\(x_1\) 为真或 \(x_3\) 为假」、「\(x_7\) 为假或 \(x_2\) 为假」。

2-SAT 问题的目标是给每个变量赋值使得所有条件得到满足。

\(1\leq n, m\leq 10^6\)。

:::success[做法]
这不是板子吗。按上述方法跑即可。
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模拟赛的 T3

就是文章开头提到的模拟赛。

定义一个布尔变量组成的二元组为布尔二元组。定义一个布尔二元组大于另一个 \((a_1, b_1)\) 布尔二元组 \((a_2, b_2)\) 当且仅当 \(a_1 > b_1\) 或 \(a_2 > b_2\)。定义 \((a_1, b_1)\) 不大于 \((a_2, b_2)\) 当且仅当 \((a_1, b_1)\) 不满足 \((a_2, b_2)\) 的条件。

有 \(n\) 个二元组以及 \(m\) 个条件（形如，\(a\) 大于 \(b\) 或 \(a\) 不大于 \(b\)）。构造一种赋值二元组的方案使之满足所有条件。

\(1\leq n, m\leq 10^6\)。

:::success[做法]
发现 \((a_1, b_1)\) 大于 \((a_2, b_2)\) 当且仅当 \((a_1 \land \lnot a_2) \lor (b_1 \land \lnot b_2)\)，对其应用分配律可得 \((a_1 \lor b_1) \land (a_1 \lor \lnot b_2) \land (\lnot a_2 \lor b_1) \land (\lnot a_2 \lor \lnot b_2)\)。

类似地，不大于条件可以化为 \((\lnot a_1 \lor a_2) \land (\lnot b_1 \lor b_2)\)。

然后直接套 2-SAT 板子做就行了。
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