Note - 一些定理 证明
关于约数
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定理:任何一个大于 \(1\) 的整数 \(n\) 都可以唯一分解成若干个质数的连乘积。(算术基本定理)
证明:存在性:
若 \(n\) 为质数,则可以分解为 \(n=n\)。
若 \(n\) 为合数,数学归纳法。设 \(n = a,b\) 且 \(a, b\) 可分解,则 \(n\) 也可分解。唯一性:
欧几里得引理:若 \(p|ab\),则 \(p|a\) 或 \(p|b\)。
- 证明:若 \(p|a\) 则证毕,若否,则有 \(\gcd(p,a) = 1\),则由裴蜀定理得 \(ma+np=1\),同乘 \(b\) 得 \(abm + bpn = b\),又因为 \(p|ab\),所以有 \(p | abm, p | bpn\),又因为 \(abm + bpn = b\),所以 \(p|b\)。
设 \(n\) 为有多种分解方案的最小数,且 \(n = \prod_{1}^{n} p_i^{\alpha_i} = \prod_{1}^{m} q_i^{\beta_i}\)。
所以有 \(p_1 | \prod_{1}^{m} q_i^{\alpha_i}\),由引理得 \(q\) 中必定有数使 \(p_1|q_i\),又由其素性得 \(p_1=q_i\)。不妨设为 \(q_1\)。
设 \(\alpha_1 > \beta_1\),则有 \(p_1^{\alpha_1-b_1}\prod_{2}^{n} p_i^{\alpha_i} = \prod_{2}^{m} q_i^{\beta_i}\),显然矛盾。同理不能有 \(\alpha_1 < \beta_1\)。所以只能有 \(\alpha_1 = \beta_1\)。
所以 \(\prod_{2}^{n} p_i^{\alpha_i} = \prod_{2}^{m} q_i^{\beta_i}\),导出 \(\prod_{2}^{n} p_i^{\alpha_i}\) 也有多种分解方案,与最小性矛盾。
证毕。 -
定理:若整数 \(n\) 能被分解为 \(n = \prod_{1}^{n} p_i^{\alpha_i}\),则其约数个数为 \(\prod_1^n (\alpha_i+1)\)。(约数个数定理)
证明:对于其中一个因数容易看出有 \((\alpha_i)\) 中选择可能,则由乘法原理易证。
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定理:若整数 \(n\) 能被分解为 \(n = \prod_{1}^{n} p_i^{\alpha_i}\),则其约数和为 \(\prod_1^n \sum_0^{\alpha_i} p_i^j\)。(约数和定理)
证明:对于质数 \(p\),\(\sigma(p^k)= \sum_0^{k} p^i\)。
接下来证 \(\sigma\) 是积性函数。
设 \(n = ab\) 且 \(\gcd(a,b) = 1\),则对于 \(n\) 的一个因数 \(d\),必定有 \(d = d_1d_2\),其中 \(d_1, d_2\) 是 \(a,b\) 的因数。
那么 \(\sigma(n) = \sum_{d|n} d = \sum_{d|n} d_1d_2 = \sum_{d_1|a}d_1 \sum_{d_2|a}d_2 = \sigma(a)\sigma(b)\)。
于是得证。