Note - 构造转移矩阵加速数列递推的小技巧

一个小寄巧。

适用范围

仅适用于形如 \(f_n = \Sigma k_i f_{n-i}\) 的数列，其中 \(k_i\) 为常数。

方法

设递推式中项数为 \(m\)。

对于矩阵的一个元素 \(M_{i, j}\)，有：

\[M_{i,j} = \begin{cases} k_i &\text{if } j = m \\ [i = j-1] &\text{otherwise.} \end{cases} \]

通俗一点，对于前 \(m-1\) 行，在 \(M_{i,j-1}\) 填 \(1\)，其它地方填 \(0\)；对于第 \(m\) 行，依次填上系数。

证明

有矩阵 \(A,B,C\)，其中 \(A\) 为 \([f_{n-m}, f_{n-m+1}, \cdots, f_{n-1}]\)，\(C\) 为 \([f_{n-m+1}, f_{n-m+2}, \cdots, f_{n}]\)，\(B\) 为转移矩阵，使得 \(A \times B = C\)。显然 \(B\) 为 \(m \times m\) 的矩阵。

因此，\(C = [\Sigma A_{1,i}B_{i,1}, \Sigma A_{1,i}B_{i,2}, \cdots, \Sigma A_{1,i}B_{i,m}]\)

又有 \(C_{1, i-1} = A_{1, i}\ [i > 1]\)

所以有以下两个式子：

\[\begin{align} & A_{1,i+1} = \Sigma A_{1,i}B_{i,1}\ (i < m)\\ & \Sigma k_{m-i+1} A_{1, i} = \Sigma A_{1,j}B_{i,j}\ (i = m) \end{align} \]

由 (1) (2) 即可得上式。

例题

P1939 矩阵加速（数列）

有数列：

\[a_x= \begin{cases} 1 & x \in\{1,2,3\}\\ a_{x-1}+a_{x-3} & x \geq 4 \end{cases} \]

求 \(a_n\)。

根据结论构造得：

\[\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \]