Note - 斐波那契的 gcd 性质 证明

斐波那契的 gcd 性质，即 \(\gcd(f_n, f_m) = f_{\gcd(n, m)}\)。

先证几个引理。

引理 1

引理：\(f_n\) 与 \(f_{n+1}\) 互质。

证明：

\[\begin{align} &\because \gcd(a,b) = \gcd(b,a-b) \notag \\ &\therefore \gcd(f_{n+1}, f_n) = \gcd(f_n, f_{n-1}) = \gcd(f_{n-1}, f_{n-2}) = ... \notag \\ &\therefore \text{由数学归纳法}，\gcd(f_{n+1}, f_n) = \gcd(f_2, f_1) = 1 \notag \end{align} \]

证毕。

引理 2

引理：\(f_{n+m} = f_{m-1}f_n+f_mf_{n+1}\)

证明：

数学归纳法。设 \(f_n\) 系数为 \(a\)，\(f_{n+1}\) 系数为 \(b\)。

当 \(m = 1\) 时，有 \(f_{n+m} = f_{n+1}\)，此时 \(a=f_0=0, b=f_1=1\)；

设当 \(k < m\) 时引理成立。
则：

\[\begin{align} f_{n+m} &= f_{n+m-1}+f_{n+m-2} \notag \\ &= (f_{m-2}f_n+f_{m-1}f_{n+1})+(f_{m-3}f_n+f_{m-2}f_{n+1}) \notag \\ &= (f_{m-2}+f_{m-3})f_n+(f_{m-1}+f_{m-2})f_{n+1} \notag \\ &= f_{m-1}f_n+f_mf_{n+1} \notag \\ \end{align} \]

证毕。

主体

由引理 2，有 \(\gcd(f_n, f_m) = \gcd(f_{m-1}f_{n-m}+f_mf_{n-m+1}, f_m)\)。

由 \(\gcd(a,b) = \gcd(a-b,b)\)，有 \(\gcd(f_n, f_m) = \gcd(f_{m-1}f_{n-m}, f_m)\)。（减掉 \(f_{n-m+1}\) 个 \(f_m\)）

又由引理 1，\(f_{m-1}\) 与 \(f_m\) 互质，得 \(\gcd(f_n, f_m) = \gcd(f_{n-m}, f_m)\)。

于是得 \(\gcd(f_n, f_m) = \gcd(f_{n \bmod m}, f_m)\)（减掉 \(\lfloor \frac{n}{m} \rfloor\) 个 \(m\)）

容易发现这就是辗转相除求 gcd。

递归上式，得 \(\gcd(f_n, f_m) = \gcd(f_{\gcd(n,m)}, f_{\gcd(n,m)}) = f_{\gcd(n,m)}\)。

证毕。