组合计数学习笔记

组合计数学习笔记

这不数学专题吗，为什么还有学习笔记

基础的就不讲了，这里写一点不基础点的。

• Lucas 定理：

  有 \(C_{m}^{n} \equiv \prod C_{m_i}^{n_i} (\bmod p)\)。可以在 \(p\) 较小的时候快速求组合数。

• \(C_n^rC_r^k = C_n^{k}C_{n-k}^{r-k}\)

  可以在化简式子的时候消除合式。组合意义：在 \(n\) 个物品中选 \(r\) 个再从中选 \(k\) 个，相当于先选 \(k\) 个，再在剩余的物品中选 \(r-k\) 个物品。

• 范德蒙德卷积：

  \(\sum_{i=0}^{k} C_n^iC_m^{k-i} =C_{n+m}^{k}\)

  组合意义：在 \(n+m\) 个物品中选择 \(k\) 个，相当于分别选 \(i\) 和 \(k-i\) 个物品，结合起来即可。

• \(\sum_{i=0}^{n} C_n^i =2^n\)

  二项式证明即可。

• \(\sum _{i=0} ^{i=n} iC_n^i = n\times 2*{n-1}\)

  组合意义：\(iC_n^i\) 表示先从 \(n\) 个元素里取出i个元素，再从这 \(i\) 个元素中取出一个元素。

  转换成先选出一个元素，再在剩下 \(n-1\) 个元素里选出任意个。

• \(\sum_{i=0}^{n} C_{n-i}^i = fibonacci_{n+1}\)

  可以通过走楼梯问题转化，用 \(i\) 枚举走楼梯问题走两步的次数即可。

• 二项式反演：

  记 \(f_n\) 表示恰好使用 \(n\) 个不同元素形成特定结构的方案数，\(g_n\) 表示从 \(n\) 个不同元素中选出 \(i ≥0\) 个元素形成特定结构的总方案数。

  有 \(g_n = \sum _{i=0}^n C_n^i f_i\)。

  可以推导出 \(f_{n}=\sum _{i=0}^n C_n^i (-1)^{n-i} g_i\)。