Mowing Mischief P 题解

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非常综合的一道 dp 好题。

先对 \(x\) 排序。

首先可以想到这题的关键的是最大的 \(S\) ，其次是最小的面积。所以这个长度就是最长上升子序列的长度，所选的 \(S\) 也必须是一个 LIS ，像这样选一个 LIS 的题目可以对数据分层，\(f_i\) 是 \(i\) 为右端点的最长上升子序列，将相同的 \(f\) 放在一层里。对于一层我们只能选择一个数。当然一层里的 \(x\) 递减，\(y\) 递增。令$p_i $ 为 \(i\) 所在的层数。

令 \(dp_i\) 为 \(i\) 这个点为最后一个点与前面结合的最小面积，且这些点必须有 \(f_i\) 个，即每一层选一个。

容易的，可以写出方程 \(dp_i=dp_j+(x_i-x_j)\times(y_i-y_j),j\in p_{i-1},x_j\le x_i,y_i\le y_j\)。

发现在 \(i\) 的转移区间在 \(p_{i-1}\) 这一层的一段连续区间里。这个区间可以用二分来求出。

而通过打表分析可得，\((x_i-x_j)\times(y_i-y_j)\) 符合四边形不等式，所以转移具有决策单调性。

这里可以通过线段树分治将这一段区间都挂上 \(i\) 这个点，这样在线段树上的每一个点都有一定的点需要去转移。这样就可以在线段树的每一个点都进行分治来快速求得答案。时间复杂度 \(O(n\log^2n)\)。