P5607 [Ynoi2013] 无力回天 NOI2017 题解

\(\text {Description}\)

维护序列，支持区间异或，区间查与一个数的最大异或

\(\text {Solution}\)

我们要求最大异或，首先考虑的就是线性基，但是线性基并不支持区间修改。

所以我们要找一个能支持该操作的数据结构（比如线段树），所以我们可以考虑用线段树套一个线性基。看到这里，你已经能切掉 P4839 P哥的桶 了。但是这道题有一个极为恶心的操作：区间异或。而我们知道线段树并不能处理区间异或的操作（懒标记并不能和加法产生兼容性）

所以我们可以考虑把它转化成单点修改，怎么转化呢？

考虑构造差分数组 \(b\), 满足\(b_i=a_i\oplus a_{i-1}\) （其中 \(\oplus\) 表示异或）

我们可以发现 \(a_i=b_1\oplus b_2 \oplus b_3\cdots b_i\)

也就是说 \(a\) 从 \([l,r]\) 的线性基与 \(a_l\) 和 \(b\) 从 \([l+1,r]\) 的线性基是相等的。

这样子我们就可以通过维护 \(b\) 的线性基来做到单点修改，但是又能维护区间信息了。

梳理一下算法：

1.构建差分数组 \(b\)，通过线段树维护差分数组的线性基。

2.用树状数组维护每次询问需要的 \(a_l\)，由于 \(b\) 是差分数组，所以等价于求 \(b\) 的前缀和。

具体细节见代码（代码在链接里）。