可交换性的讨论

可交换算子的特征和特征空间

[!可交换]
。对于同一向量空间上的两个算子 \(S\) 和 \(T\), 若 ST=TS, 则它们可交换
。对于两个大小相同的方阵 \(A\) 和 \(B\), 若 \(AB=BA\), 则它们可交换

由于只要确定了一组基，则算子和方阵是同构的，所以显然的：

[!可交换算子对应可交换矩阵]
设 \(S,T\in\mathcal{L}(V)\) 且 \(v_1,\ldots,v_n\) 是 \(V\) 的一个基. 那么 \(s\) 和 \(T\) 可交换，当且仅当 \(\mathcal{M}(S,(v_1,\ldots,v_n))\) 和 \(\mathcal{M}(T,(v_1,\ldots,v_n))\) 可交换

以上结果都是显然的，用特征值和特征空间理论，我们可以得到一些很强的结论

[!特征空间在可交换算子下不变]
设 \(S,T\in\mathcal{L}(V)\) 可交换且 \(\lambda\in\mathbf{F}.\) 那么 \(E(\lambda,S)\) 在 \(T\) 下不变

直接验证即可：

\[S(Tv)=(ST)v=(TS)v=T(Sv)=T(\lambda v)=\lambda Tv. \]

虽然证明起来很简洁，但是这是很本质的条件，后面的很多结论都要用到

比如可以立即导出公共特征向量

[!可交换算子的公共特征向量]
非零有限维复向量空间上的每对可交换算子都有公共的特征向量.

从上面的结论里取出特征向量即为所求

对于可对角化矩阵，可交换性完全等价于可同时对角化

[!可同时对角化]
同一向量空间上的两个可对角化算子关于相同的基都有对角矩阵，当且仅当这两个算子可交换．

由上面的结论，可以得到 \(E(\lambda_{k},S)\) 也是 \(T\) 的不变子空间，则 \(T\) 在这空间上也可以对角化，又由于

\[V=E(\lambda_1,S)\oplus\cdots\oplus E(\lambda_m,S). \]

这就说明了可同时对角化.

类似的，如果原来的算子的性质没有那么好，我们可以得出可同时上三角化的结论：

[!可交换算子可同时上三角化]
设 \(V\) 是有限维复向量空间，\(S,T\) 是 \(V\) 上的可交换算子. 那么存在 \(V\) 的一个基，使得 S 和 \(T\) 关于该基均有上三角矩阵.

但是证明过程要繁琐不少。
运用归纳法，当 n=1 时显然成立，我们假设对 n-1 成立。由于有共同的特征向量，而上三角阵的第一个基就是特征向量，所以我们将其取出，设为 \(v_{1}\)，有：

\[S\nu_{1}\in\mathrm{span}(\nu_{1})\ ,\ T\nu_1\in\mathrm{span}(\nu_1) \]

然后讨论剩下的向量的构成的子空间在 S，T 下的形状，令

\[V=\operatorname{span}(\nu_1)\oplus W. \]

其中 W 是 n-1 维的，但是此时还不能通过归纳假设得到结论，因为 S，T 在 W 中不一定是可交换的，因为 W 不一定是 S，T 的不变子空间（实际上，大多数情况不是）。我们必须通过在 V 上可交换导出在 W 上可交换，实际上，对任意的 V 中向量有：

\[v=a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n} \]

那么在 W 中的向量，直觉上就是 \(a_{1}=0\) 的情况而已，严谨的来说，是构成了一个同构：

\[\{v:v=a_{1}v_{1}+...+a_{n}v_{n},a_1=0\}\cong W \]

使得它们同构的映射也很显然是

\[\varphi(0v_{1}+...+a_{n}v_{n})=w \]

由于 V 到 W 上意味着维度的降低，我们根据这个同构的性质来构造映射

\[P(av_1+w)=w. \]

定义

\[\begin{align*} \hat{S}w=P(S(av_{1}+w))=P(\lambda_{1} av_{1}+Sw)=P(Sw)\\ \hat{T}w=P(T(av_{1}+w))=P(\lambda_{2} av_{1}+Tw)=P(Tw) \end{align*} \]

实际上这就是限制在 \(W\) 上的 S 和 T，只是用 P 将它们的运算性质给表现出来而已。
下一步考虑 \(\hat{S}\hat{T}\) 的可交换性，

\[\begin{align*} (\hat{S}\hat{T})w&=\hat{S}\big(P(Tw)\big)=\hat{S}(Tw-av_{1})=P\big(S(Tw-av_{1})\big)=P\big((ST)w\big),\\ (\hat{T}\hat{S})w&=P\big((TS)w\big). \end{align*} \]

由 T，S 的可交换性立即得

\[(\hat{S}\hat{T})w=(\hat{T}\hat{S})w. \]

最后我们将其还原会去，有

\[S\nu_{k}=a_{k}\nu_{1}+\hat{S}\nu_{k}\quad\text{及}\quad T\nu_{k}=b_{k}\nu_{1}+\hat{T}\nu_{k}. \]

由归纳假设有：\(\hat{S}\nu_{k} \in \mathrm{span}(\nu_{2},\ldots,\nu_{k})\) 进而

\[Sv_k\in\mathrm{span}(v_1,\ldots,v_k) \]

得到结论。

由可上三角化+上三角矩阵的运算立即得到：

[!可交换算子的和与积的特征值]
设 \(V\) 是有限维复向量空间，\(S,T\) 是 \(V\) 上的可交换算子. 那么

1. \(S+T\) 的每个特征值都等于 \(S\) 的特征值加上 \(T\) 的特征值.
2. \(ST\) 的每个特征值都等于 S 的特征值乘以 \(T\) 的特征值

可交换性和多项式表出

如果要举出一个和算子 \(T\) 可交换的算子，最自然的想法就是算子 \(T\) 的多项式，但是，并不是所有可交换的算子都可以有这么好的性质。接下来我们讨论需要如何加强条件才能得到这个性质。

[!性质1]
如果算子 \(T\) 的极小多项式等于特征多项式，那么与其可交换的算子可以表示成 \(T\) 的次数不超过 \(n-1\) 的多项式.

由于极小多项式等于特征多项式，此时比较好的标准型为有利标准型.
设算子 \(T\) 在某组基下的表示矩阵为

\[F=\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0&-a_n\\1&0&\cdots&0&-a_{n-1}\\0&1&\cdots&0&-a_{n-2}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&1&-a_1\end{pmatrix}, \]

即

\[\begin{align*} T(e_1)&=e_2, T(e_2)=e_3, \cdots, T(e_n)=-a_ne_1-a_{n-1}e_2-\cdots-a_1e_n. \\ \Rightarrow T^{k}(e_{i})&=e_{i+k},\ i=1,...,n-1;\ \end{align*} \]

若 \(ST=TS\) 则设

\[S(\boldsymbol{e}_1)=b_1\boldsymbol{e}_1+b_2\boldsymbol{e}_2+\cdots+b_n\boldsymbol{e}_n, \]

对任意的 i，有

\[\begin{align*} S(e_{i})&=ST^{i-1}e_{1}=T^{i-1}Se_{1}=T^{i-1}(b_{1}e_{1}+...+b_{n}e_{n})\\ &=b_{1}T^{i-1}e_{1}+...+b_{n}T^{i-1}e_{n}\\ &=b_{1}Te_{i}+b_{2}T^{2}e_{i}+...+b_{n}T^{n-1}e_{i} \end{align*} \]

所以

\[S=b_{1}I+b_{2}T+...+b_{n}T^{n-1} \]

对于 Jordan 块，我们有局部的结论

[!与Jordan块可交换]
若 \(S\) 与 \(J_{n}(\alpha)\) 可交换，则 \(S\) 可以写成 \(J_{n}(\alpha)\) 的至多 \(n-1\) 阶多项式

由上立即得