矩阵的开根和次方问题

我们先给出一个总结性的定理：

[!Jordan阵相乘之后相似的Jordan阵]

\[J_{n}(a)J_{n}(b)\sim \left\{ \begin{aligned} &J_{n}(ab)&a,b\neq 0,a+b\neq 0\\ &\begin{pmatrix}J_{n-1}(0) & O\\ O & 0\end{pmatrix}&a\neq b=0\\ &\mathrm{diag}\{J_{q}^{1}(0),....,J_{q}^{2-r}(0),J_{q+1}^{1}(0),...,J_{q+1}^{r}(0)\} &a=b=0,n=2q+r \end{aligned} \right. \]

证明：由于

\[J_{n}(a)=aI_{n}+N \]

所以

\[J_{n}(a)J_{n}(b)=(aI_{n}+E)(bI_{n}+E)=abI_{n}+(a+b)E+E^{2} \]

容易看到的是相乘后的特征值为 \(ab\) 所以考虑

\[r(J_{n}(a)J_{n}(b)-abI_{n})=r((a+b)E+E^{2})=n-1 \]

对秩分类讨论即得.

到m次推论:
若 \(a\neq 0\)
则

\[J_{n}^{m}(a)\sim J_{n}(a^{m}) \]

若 \(a=0\) 则

\[J_{n}^{m}(0)\sim \mathrm{diag}\{J_{q}^{1}(0),...,J_{q}^{m-r}(0),J_{q+1}^{m-r+1}(0),...,J_{q+1}^{m}\} \]

右边的上表是编号，意味着 m-r 个 \(J_{q}(0)\) 和 r 个 \(J_{q+1}(0)\) 其中 \(q,m,r\) 由

\[n=mq+r \]

确定