11 张量积和外代数

首先给出张量积的一个直观认知：张量积是线性空间和线性空间的一种特殊乘积

两空间的张量积

我们希望定义不同向量空间的乘法，并且满足分配性质

\[(\nu_1+\nu_2)\otimes w=\nu_1\otimes w+\nu_2\otimes w\quad\text{和}\quad\nu\otimes(w_1+w_2)=\nu\otimes w_1+\nu\otimes w_2. \]

显然，我们定义的积空间 \(V\times W\) 并不能满足我们的要求. 因为它实际上是把 \((u,v)\) 看成一个向量，来保证它的线性性，而分配性质要求我们把 \((u,v)\) 看成两个向量，分别保证它的线性性质.

具有这种性质的，在之前出现过：双线性型/实空间上的标准内积. 但是对于两个不同空间的向量的乘法，我们需要单独定义：

[!双线性泛函]
\(V\times W\) 上的双线性泛函是函数

\[\beta:V\times W\to\mathbf{F} \]

, 使得：对于任一 \(w\in W,\nu\mapsto\beta(\nu,w)\)都是 \(V\) 上的线性泛函；对于任一 \(\nu\in >V,w\mapsto\beta(\nu,w)\) 都是 \(W\) 上的线性泛函.

双线性泛函服从基本的加法和数乘运算. 所以构成线性空间.

[!双线性泛函构成的向量空间]
\(V\times W\) 上的双线性泛函构成的向量空间，记为 \(\mathcal{B}(V,W).\)

它的维数类似双线性型的性质：

[!双线性泛函的维数]

\[\dim\mathcal{B}(V,W)=(\dim V)(\dim W). \]

那么我们称 \(\beta\) 定义了一个 \(V,W\) 上的乘法：输入 \(V,W\) 中的元素，输出了一个数域 \(F\) 中的元素，并且保持了分配律.

我们把这样的 \(\beta\) 抽象成一个空间：\(V,W\) 上的乘法运算构成的空间（其实有点像各种定义在 \(V\) 上的内积算符构成的空间）

下面的定义可能会有点奇怪，但是有一个很直观的动机：既然我们要让每个 \(u,v\) 都在它自己的位置上有线性型，进而有类似乘法的双重线性型；那我们直接定义把 \(u,v\) 分别映射到 \(F\) 中，再用 \(F\) 上的自然乘法把它乘起来不就好了？

[!张量积]
张量积 \(V\otimes W\) 定义为 \(\mathcal{B}(V^\prime,W^\prime).\)
特别的，对于 \(v\in V\) 和 \(w\in W\), 张量积 \(v\otimes w\) 是集合 \(V\otimes W\) 的元素, 定义为

\[(v\otimes w)(\varphi,\tau)=\varphi(v)\tau(w) \]

对所有 \((\varphi,\tau)\in V^{\prime}\times W^{\prime}\) 成立.
即：

\[v\otimes w:V'\times W' \rightarrow F \]

可见张量积 \(V\otimes W\) 中的某些元素的本质是 \(V'\times W'\) 上的线性泛函，但是并不是全部元素：因为 \((V'\otimes W')'\) 的维度仅仅只有 \(n+m\), 但是 \(V\otimes W\) 的维度为 \(nm\)

利用 \(V,W\) 上的线性泛函来定义乘法，显然这个乘法不具有唯一性，有很多种，而且这种乘法还构成了向量空间 \(V\otimes W\)

根据对偶空间的维数，我们也有

[!张量积的维数]

\[\dim(V\otimes W)=(\dim V)(\dim W). \]

简单的运用线性泛函的线性性即可验证乘法分配律的成立. 我们接下来试图找到 \(V\otimes W\) 的一组基，我们有预感：这和双线性型的基可能会很像。即选定两组基（双线性型是一组），然后两两做组合，一个张量基的性质就完全体现在它会把这些两两组合映射到 \(F\) 中的哪个标量上.

[!张量积的基]
设 \(e_1,\ldots,e_m\) 是 \(V\) 中的一组向量 \(,f_1,\ldots,f_n\) 是 \(W\) 中的一组向量
(a) 如果 \(e_1,\ldots,e_m\) 和 \(f_1,\ldots,f_n\) 都是线性无关组，那么

\[\begin{Bmatrix}e_j\otimes f_k\end{Bmatrix}_{j=1,...,m;k=1,...,n} \]

是 \(V\otimes W\) 中的线性无关组.
(b) 如果 \(e_1,\ldots,e_m\) 是 \(V\) 的基，\(f_1,\ldots,f_n\) 是 \(W\) 的基，那么组 \(\left\{e_j\otimes f_k\right\}_j=1,\ldots,m;k=1,....,n\) 是 \(V\otimes W\) 的基.

只需设：

\[\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^ma_{j,k}(e_j\otimes f_k)=0. \]

然后将这两组基生成的对偶基成对带入即可.

接下来讨论双线性映射，这是由于我们对“双线性”提出了一个好的定义，那么我们不仅仅可以把 \(V\times W\) 保持双线性性质地映射到 \(F\), 更可以把它映射到任何空间 \(U\)

[!双线性映射]
从 \(V{\times}W\) 到向量空间 \(U\) 的双线性映射是这样一个函数 \(\Gamma:V{\times}W\to U\), 其使得 >\(\nu\mapsto\Gamma(\nu,w)\) 对任一 \(w\in W\) 都是从 \(V\) 到 \(U\) 的线性映射，\(w\mapsto\Gamma(\nu,w)\) 对任一 ?>\(\nu\in V\) 都是从 \(W\) 到 \(U\) 的
线性映射.

注意：双线性映射舍弃了单线性型性质，而具有双线性性质，故不是线性映射，只能称为“函数”.

我们既然可以诱导 \((u,v)\) 变成具有双线性的 \(u\otimes v\)，那么对于

\[V\times W\rightarrow U \]

的映射，自然也可以诱导出

\[V\otimes W \rightarrow U \]

的映射.

在上面的第一个映射中，这个映射需要“承担”双线性的职责（因为它作用的空间是单线性的），所以不能称为线性映射，而是双线性映射
但是在第二个映射中，线性空间 \(V\otimes W\) 中的元素已经具有了双线性性，进而可以得到一个线性映射

[!双线性映射转化为线性映射]
设 \(U\) 是向量空间.
(a)设\(\Gamma:V\times W\to U\)是双线性映射，那么存在唯一的线性映射\(\hat{\Gamma}:V\otimes W\to U\)使得

\[\hat{\Gamma}(\nu\otimes w)=\Gamma(\nu,w) \]

对所有 \((v,w)\in V\times W\) 成立.
(b)反之，设\(T:V\otimes W\to U\) 是线性映射，那么存在唯一的双线性映射\(T^\#:V\times W\to U\)
使得

\[T^\#(v,w)=T(v\otimes w) \]

对所有 \((\nu,w)\in V\times W\) 成立.

定义

\[\hat{\Gamma}(e_j\otimes f_k)=\Gamma(e_j,f_k) \]

和

\[T^{\#}(\nu,w)=T(\nu\otimes w) \]

即可，唯一性由基映射到基的映射唯一来保证.

注意，\(V\otimes W\) 中的元素并不是全都能表示成 \(v\otimes w\) 的形式，事实上，“表示成 \(v\otimes w\)”这个条件是非常苛刻的：假设 \(v=a_{1}e_{1}+...+a_{n}e_{n},\ w=b_{1}f_{1},...,b_{m}f_{m}\) 则

\[v\otimes w=\sum\limits_{n}\sum\limits_{m}a_{i}b_{j}(e_{i}\otimes f_{j}) \]

这里的未知数个数为 \(n+m\) 个 (与 \((v,w)\) 同构)，但是空间 \(V\otimes W\) 的维度是 \(nm\).

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内积空间上的张量积

接下来，来考虑内积空间上的张量积，本质上和一般线性空间的内积没有什么区别，我们主要关注一种特殊的内积：

由于张量积本来就类似乘法，而内积也是乘法，那么很自然的想到两个乘法同时出现时的分配律，即在空间 \(V\otimes W\) 上定义的内积，什么时候有：

\[\langle v\otimes w,u\otimes x\rangle=\langle v,u\rangle\langle w,x\rangle \]

成立呢？

我们通过对基的讨论，证明了它的存在性和唯一性，实际上和正常的内积讨论没有区别

[!两内积空间所成张量积上的内积]
设 \(V\) 和 \(W\) 是内积空间. 那么，\(V\otimes W\) 上存在唯一一种内积使得

\[\langle v\otimes w,u\otimes x\rangle=\langle v,u\rangle\langle w,x\rangle \]

对所有 \(\nu,u\in V\) 和 \(w,x\in W\) 成立.

根据 \(V\otimes W\) 上的基，定义内积

\[\left\langle\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^mb_{j,k}e_j\otimes f_k,\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^mc_{j,k}e_j\otimes f_k\right\rangle=\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^mb_{j,k}\overline{c_{j,k}}. \]

也就是下标相同的系数相乘，类似 \(F_{n}\) 上的标准内积.
那么对任意的 \(v,w,u,x\) 有

\[\begin{aligned} \langle\nu\otimes w,u\otimes x\rangle & =\left\langle\sum_{j=1}^{m}v_{j}e_{j}\otimes\sum_{k=1}^{n}w_{k}f_{k},\sum_{j=1}^{m}u_{j}e_{j}\otimes\sum_{k=1}^{n}x_{k}f_{k}\right\rangle \\ &=\left\langle\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\nu_{j}w_{k}e_{j}\otimes f_{k},\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}u_{j}x_{k}e_{j}\otimes f_{k}\right\rangle \\ &=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\nu_{j}\overline{u_{j}}w_{k}\overline{x_{k}} \\ &=\left(\sum_{j=1}^{m}\nu_{j}\overline{{u_{j}}}\right)\left(\sum_{k=1}^{n}w_{k}\overline{{x_{k}}}\right) \\ &=\langle v,u\rangle\langle w,x\rangle. \end{aligned} \]

唯一性仍然由内积的 \(gram\) 矩阵来保证.

我们定义张量基上的内积为以上的简洁形式：

[!两内积空间所成张量积上的内积]
设 \(V\) 和 \(W\) 是内积空间 \(.V\otimes W\) 上的内积是唯一使得

\[\langle v\otimes w,u\otimes x\rangle=\langle v,u\rangle\langle w,x\rangle \]

对所有\(\nu,u\in V\)和\(w,x\in W\)成立的，从\((V\otimes W)\times(V\otimes W)\)到 F 的函数>\(\langle\cdot,\cdot\rangle.\)

由此，我们就把张量积上的内积转化成了 \(V,W\) 上的内积相乘. 那么我们只需要对 \(e_{i},f_{i}\) 取规范正交基即可得到 \(V\otimes W\) 上的规范正交基.

Kronecker积

Kronecker 积是两个矩阵空间上的张量积.

[!Kronecker积]
设 \(\mathbb{F}\) 是数域且 \(A=(a_ij)\in\mathbb{F}^m\times n,B=(b_{ij})\in\mathbb{F}^{k\times\ell}\), 我们定>义

\[A\otimes >B=\begin{pmatrix}a_{11}B&a_{12}B&\cdots&a_{1n}B\\a_{21}B&a_{22}B&\cdots&a_{2n}B\\\vdots&\vdots&\ddots&>\vdots\\a_{m1}B&a_{m2}B&\cdots&a_{mn}B\end{pmatrix}$$ 特殊的，两个列向量的 Kronecker 积是 \]

在处理时，我们只需要当成是 A，B 的行（列）空间的张量积即可. 同时 Kronecker 积继承张量积的所有性质，特别的：

1. \(r\left ( A\otimes B\right ) = r\left ( A\right ) \times r\left ( B\right ) ;\)
2. \(A\otimes B\) 行 (列) 满秩等价于 \(A,B\) 都是行 (列) 满秩. 当 \(A,B\) 可逆，必有 \((A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1};\)
3. 若 \(A\in\mathbb{F}^{m\times m},B|\in\mathbb{F}^{n\times n}\), 则 \(|A\otimes B|=|A|^n\cdot|B|^m\), tr \((A\otimes B)=\operatorname{tr}\left(A\right)\cdot\operatorname{tr}\left(B\right)\). 更强的，若 \(A\) 特征值是 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m\) 且 \(B\) 特征值是 \(\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_n\), 则 \(A\otimes B\) 特征值是$$\lambda_i\mu_j,1\leqslant i\leqslant m,1\leqslant j\leqslant n.$$