黎曼引理

黎曼引理是我们处理形如$$
\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{a}^{b} f(x)g(nx)dx
$$ 的有力工具，其中 $g$ 是以 $T$ 为周期的函数，$f$ 是可积函数.

>[!黎曼引理]
>设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，$g(x)$ 以 $T$ 为周期，且在 $[0,T]$ 上可积，则
$$\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{b}f(x)g(nx)\:\mathrm{d}x=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}g(x)\:\mathrm{d}x\int_{a}^{b}f(x)\:\mathrm{d}x.$$

以下是在无穷区间上的推广.
>[!黎曼定理]
设$f(x)$在任意有限区间可积，且
的可积函数，则
$$\lim_{n\to\infty}\int_{a}^{+\infty}f(x)g(nx)\:\mathrm{d}x=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}g(x)\:\mathrm{d}x\int_{a}^{+\infty}f(x)\:\mathrm{d}x.$$

这个定理可以这样理解：在积分的过程中，周期函数乘 $f(x)$ 对 $f(x)$ 的影响是周期性的，实际上并不好预测，但是当 n 充分大的时候，周期函数会呈现高速震荡的情况，一个周期的长度会趋近于 0 $$
T_{n}=\frac{T}{n}\rightarrow0
$$ 也就是说，这个周期函数在 n 充分大的时候乘 $f$ 会变得越来越像 $f$ 乘了一个常数：因为周期函数的每个周期都收缩到每个点上了，这个作用是多大呢？大约是$$
\frac{1}{T_{n}}\int_{0}^{T_{n}}g(nx)dx=\frac{n}{T}\int_{0}^{\frac{T}{n}}g(nx)dx=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}g(x)dx
$$ 那么就有极限：$$ \lim_{n\to\infty}\int_{a}^{b}f (x) g (nx)\:\mathrm{d}x=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}g (x)\:\mathrm{d}x\int_{a}^{b}f (x)\:\mathrm{d}x.$$
对无穷的情况也是类似的.

 

以下的问题可以用黎曼引理轻松解决.
1. 设 $f$ 在 $[-a,a]$ 上连续，且在 $x=0$ 处可导. 求证：$$\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int_{-a}^{a}\frac{1-\cos\lambda x}{x}\:f(x)\:\mathrm{d}x=\int_{0}^{a}\frac{f(x)-f(-x)}{x}\:\mathrm{d}x.$$

只需将右侧移动到左边来，然后证明 $$
\frac{f(x)}{x}
$$ 的可积性即可.