模拟费用流与反悔贪心小记

0. 一些约定

若无特殊说明，我们约定：

1. \((u,v,c,w)\) 代表一条 \(u\) 到 \(v\)，容量为 \(c\)，费用为 \(w\) 的边。\((c,w)\) 代表容量为 \(c\)，费用为 \(w\) 的边。
2. \(S\) 代表源点，\(T\) 代表汇点。

1. 概括

模拟费用流与反悔贪心有着非常相似的思想，有些时候可以互相代替。无论是哪种解法，都能通过反悔决策增量地维护答案，因此有时可以解决动态规划或朴素贪心难以解决的问题。

2. 性质与基本思路

• 费用流模型关于流量具有凸性，可以通过费用流模型证明 wqs 二分的可行性。

• 在一些简单费用流模型里，不妨观察增广路和负环形式，简化费用流计算。时刻注意，在正常的费用流中，增广路是不会有环的。

• 在部分费用流模型里，可以将费用流退流决策一起放入计算中。

• 在模拟 EK 算法时，如果数据允许，可以尝试增量加边。

• 反悔贪心的反悔决策如果不能用增量比较，尝试用朴素的贪心策略进行反悔。

• 反悔贪心可以用双向链表，优先队列维护差值等方式进行连续反悔。

• 在反悔决策不明朗时，尝试将反悔也当成可行决策。

• 反悔时的增量可以看情况选择，有时不一定是一个一个增加的。

3. 模拟费用流例题

• 类型一：费用流模型证明 wqs 二分可行性。

Raper

发现这个问题如果直接反悔贪心有三种决策，分别是组一对新的 \(AB\)，替换一个 \(B\)，或者替换一对 \(AB\) 。在 \(k\) 的限制下直接做是不容易的。

费用流建模是容易的。

有了建模之后就有凸性了，考虑给 \(a_i\) 带权二分，解除了 \(k\) 的限制后剩下部分的反悔毙掉了替换一对 \(AB\) 这个操作，剩下两个操作可以直接反悔。

种树

解除限制之后的 dp 非常典，现在考虑如何建模。

将每个坑的间隔看成一个点，每个坑成一条边，有公共坑的间隔连一条权为坑的权的边，边容量都是 \(1\)，分成二分图即可。

• 类型二：简化费用流计算。

雪灾与外卖

uoj 差评榜 rk3（好像是），鉴定为蒸。

这个题可以用反悔贪心解释：

我们给两个堆，堆 \(A\) 表示拆出一个送餐员的代价，堆 \(B\) 表示多一个餐厅的代价。从小到大加入，保证堆中决策坐标都比当前小。

当加入一个餐厅时：

1. 寻找一个未匹配的送餐员，抑或是寻找一个可以替换的已在匹配中的餐厅。从堆 \(A\) 中找，假设代价是 \(W\)，则贡献是 \(y_i+w_i+W\)。如果撤销该决策，多出这个餐厅，代价为 \(-2y_i-W\)，加入到 \(B\) 中，再将替换这个餐厅的贡献 \(-y_i-w_i\) 加入堆 \(A\)。
2. 否则将 \(-y_i+w_i\) 加入 \(B\) 中。

当加入一个送餐员时：

1. 寻找一个可以匹配的餐厅，抑或寻找一个可以替换的已在匹配中的送餐员。从 \(B\) 中找，假设代价是 \(W\)，则贡献是 \(x_i+W\)。如果撤销此决策，多出这个送餐员，代价为 \(-2x_i-W\)，加入到堆 \(A\) 中。
2. 否则将 \(-x_i\) 加入到 \(A\) 中。

这里有一个细节，那就是为了让它满流，我们提前往 \(B\) 中增加代价为 \(+\infty\)，可用次数也为 \(+ \infty\) 的一个餐厅即可。

这里告诉我们反悔贪心的另一个套路，那就是将反悔与普通决策同质化。但是这里我要引出一个很厉害的费用流模型来解释这个反悔贪心。

先上图：

这张图的源点是 \(0\)，汇点是 \(7\)。每个坐标拆成 \(in\) 和 \(out\)，\(in\) 向 \(out\) 连一条费用 \(-2x\) 的边。\(in\) 从大往小，\(out\) 从小往大连 \(0\) 边，若有送餐员，从 \(S\) 向对应的 \(in\) 连费用为 \(0\)，容量为 \(1\) 的边，若有餐厅，从对应的 \(out\) 连费用为 \(w_i\) ，容量为 \(c_i\) 的边。可以发现，这张图求解的最小费用最大流即为原问题的解。

现在考虑模拟 EK 算法，先单路增广 \(0 \rightarrow 3 \rightarrow 6 \rightarrow 7\) 这条路径，变成：

代价即为 \(y-x+w_i\)，设 \(W=y+w_i\)，此时形成一个环，假如这个环是负的，消圈后变成：

整体上，你加上了\(y_j+w_j-W\) 的代价，多了一条可能的 \(1 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 6 \rightarrow 7\) 的代价为 \(-2y_j+W\) 的增广路，跟上次一样的，以后可能反悔这条 \(w_j+y_j\) 的边。这神似我们之前的反悔贪心，其实本质是一样的，分析另一种情况应该也能得出相同结论。

为什么要多讲一个费用流模型，因为接下来还有用这个模型解释的题（在反悔贪心那儿）。

Olympiad in Programming and Sports

这题数据范围其实可以直接费用流解，但是模拟费用流也是可以的。

本题的费用流模型这么建：建一个二分图，下部 \(n\) 个点，上部 \(2\) 个点，容量与费用显然。考虑模拟 EK 算法，每次寻找一条增广路，这条增广路的形式只有四种（以下用 \(A,B\) 来描述上部两点）：

1. \(S \rightarrow A \rightarrow i \rightarrow T\)
2. \(S \rightarrow B \rightarrow i \rightarrow T\)
3. \(S \rightarrow A \rightarrow i \rightarrow B \rightarrow j \rightarrow T\)
4. \(S \rightarrow B \rightarrow i \rightarrow A \rightarrow j \rightarrow T\)

之外的增广路都是不优的（大概画一画，发现因为只有两个点，其他的都会形成负环，不可能出现）。

与 \(S,T\) 之间的连边费用均为 \(0\) 直接忽略掉，拿四个堆维护即可。

另一种很有启示的思路：考虑一条一条加入 \(S \rightarrow A,B\) 的边，我们先将 \(S \rightarrow A\) 的边全部加完。我们将最优的几个 \(a_i\) 匹配，一定是加完 \(S \rightarrow A\) 边后的最佳匹配。

之后我们继续加入 \(S \rightarrow B\) 的边，那么增广路有两种可能：

1. \(S \rightarrow B \rightarrow i \rightarrow T\)
2. \(S \rightarrow B \rightarrow i \rightarrow A \rightarrow j \rightarrow T\)

剩下的增广都不经过新加的 \(S \rightarrow B\) 的边，不考虑，这样我们就只用三个堆了。

这也告诉我们，在一些模型里，尝试提前增广一类型的边可以简化问题。下一道题就是这样。

上一道题能不能也这样做？回去再想想。

蔬菜

蔬菜越来越多，我该怎么办？

嘴巴一下：

给每天建个点，往 \(T\) 连 \((m,0)\) 的边，每个蔬菜也建点，这一步建图是简单的。

考虑倒推，每天加入当前的 \(m\) 条边，这个费用流性质很好，是个可以直接用堆玩的贪心。

好的你现在会 \(q(n+mp)\log{n}\) 复杂度了，我们考虑做多测，其实就是要从最后一天开始退流。发现对于最后一条边，你啥都能退，直接拿小根堆把所有东西都扔进去，做完了。

有点嘴巴，详细说说。

考虑先建模，每天建一个点，往 \(T\) 连 \((m,0)\) 边，第 \(i+1\) 天往第 \(i\) 天连 \((+\infty,0)\) 边，对于每个蔬菜，我们也建一个点（其实可以不建），从 \(S\) 连一条 \((1,s_i+a_i)\)，连一条 \((c_i-1,a_i)\) ，从蔬菜刚好流失的那天开始，往每天连容量为当天损失蔬菜数量的边。

直接跑就是对的。如果我们做单测的话可以直接从那天开始，一次一天一天往前走，每天增广当前的 \(m\) 条边，容易发现增广路形式只有一种，直接用堆存可行的增广路即可。

如果多测的话，我们先用跑出 \(p = 10^5\) 的答案，那么我们就知道了我们要选哪些蔬菜。如果要往前推，要把当天的流退完，相当于找 \(T\) 到 \(S\) 的增广路。同样是只有一种增广路，唯一的区别在于，你不用在中途加入新的增广路，所有增广路一开始就已经可以流了。同样用堆存就行了。

序列

如果你在考场上一眼瞪出可以费用流建模，就已经有二分套二分的 \(64\) 的高分了。然而想拿满，光靠这个还不够。具体考虑如何建模。

建模如下：建一张二分图，左右部分别当 \(a,b\) 连，要求 \(L\) 个相同的位置，相当于自由选择不同的位置至多 \(K-L\) 个。建两个虚点，中间连一容量 \(K-L\) 的边，两个点再分别向 \(a,b\) 连边即可。对于剩下的，我们限制他们必须选相同位置，\(a,b\) 想通过位置连边即可。流量固定为 \(K\)。

仍然考虑优先增广较为特殊的边，也就是那两个虚点中间的边。很明显，直接找到 \(a\) 和 \(b\) 中最大那几个就是最优。

继续增广，现在只能增广 \(a,b\) 对应位置相连的边了。一下我们称 \(i\) 为 \(a_i\) 对应的点，\(i'\) 为 \(b_i\) 对应的点，\(P\)、\(Q\) 对应两个虚点。

增广路有四种：

1. \(S \rightarrow i \rightarrow i' \rightarrow T\)
2. \(S \rightarrow i \rightarrow P \rightarrow j \rightarrow j' \rightarrow T\)
3. \(S \rightarrow i \rightarrow i' \rightarrow Q \rightarrow j \rightarrow T\)
4. \(S \rightarrow i \rightarrow P \rightarrow j \rightarrow j' \rightarrow Q \rightarrow k \rightarrow T\)

拿 \(5\) 个或 \(6\) 个堆维护这玩意就行了，其余的增广路都带个环。

在重做这道题的过程中，得到了一点经验，那就是在在手动寻找增广路径比较困难时，一定要记得使用小数据对拍 + 手玩，往往可以拍出漏掉的增广路。还是那句话，让程序帮你做麻烦的事情。

4. 反悔贪心例题

• 类型一：尝试使用普通贪心策略反悔。

Exhausted?

如果只有 \(L\) 或 \(R\) 的限制，可以直接排序后贪心。如果限制同时出现，我们考虑反悔，在满足一边取到最优的情况下使另一边最优。

将 \(L\) 一维排序，然后从小到大做第一步贪心。此时我们保证了新加入的人一定可以替换掉之前的人，而如果当前的人能换出一个更小的 \(R\) 就换。

剩下没配上的人和位置再按 \(R\) 贪心。

听上去挺嘴巴的，但是确实没问题。

• 类型二：将反悔决策同质化。

征服世界

雪灾与外卖的严格加强版，把数轴改成了树。

这题用网络流模型不好分析，但是也不是不行，先考虑反悔贪心的想法。

拆贡献成 \(dis_a+dis_b-2*dis_{lca}\)。

考虑雪灾与外卖的类似分析，两个堆 \(A,B\) 分别表示多出一个军队的代价和多出一个驻军地点的代价。

在每个节点上往 \(A\) 加入 \(X_u\) 个 \(dis_a\) ，\(Y_u\) 个 \(dis_b\)，之后考虑每次从 \(A,B\) 中拿出一个军队和驻军地点，设贡献分别为 \(W1,W2\)。

那么如果连接他们的贡献为 \(W1+W2-2dis_u\)，如果要反悔其中的军队，贡献为 \(2dis-W1\)，多一个驻军地点，加入 \(B\)，如果反悔其中的驻军地点，贡献为 \(2dis-W2\)，加入 \(A\)。

直接拿配对堆暴力向上合并就行了，注意回收内存。

如果要用模拟费用流解释的话，大致思路就是，仿照雪灾与外卖拆点，\(in\) 向祖先 \(in\) 连边，\(out\) 向后代 \(out\) 连边，然后分析费用流负环情况，发现反悔后产生的反悔路径如果要形成新的负环，一定从当前节点也就是 \(lca\) 处往上或往下，否则不是最优的。然后就像雪灾与外卖一样加入新的反悔决策即可。

如果这题不是树而是 DAG 的话，能有同样的优化方法吗？其实在原来的建模越来越接近一般图的情况下，模拟费用流越接近普通的费用流算法。所以在反悔贪心时，也可以用费用流建模考虑反悔贪心的可行性。

upd：貌似 DAG 的话跟最小链覆盖差不多，那应该寄了（