P10977 Cut the Sequence 分析

题目概述

你需要将一个长度为 \(n\) 的序列 \(A\) 分成若干段，满足每段中数字之和 \(\leq m\)，每段将这一段的最大值作为他的贡献，求他们贡献之和的最小值。

分析

蓝书好题！这是一道例题。

不难设 \(f_i\) 表示前 \(i\) 个数分成若干段所得到的最小答案。

显然转移有：

\[f_i=\min_{j\in[0,i-1],\sum_{k=j + 1}^i a_k\leq m}\{f_j+\max_{k\in[j+1,i]}a_k\} \]

直接转移是 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的。

\(dp\) 的转移优化的指导思想就是及时排除不可能的决策。

我们不难根据题目的意思发现：\(f_i\) 是单调不降的。

若 \(a_{j}\leq a_{j+1}\)。那么显然：

\[f_{j-1}+\max\leq f_j+\max \]

也就是说我们维护一个依据坐标的 \(a_x\) 单调递减的队列即可。

当然我的转移还有可能来自最远的那个点。

代码

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stdlib.h>
#include <vector>
#include <set>
#define int long long
#define N 100005
using namespace std;
int n,f[N],a[N],m,sum[N];
int head,tail,q[N << 2];
multiset<int> st;
signed main(){
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1;i <= n;i ++) scanf("%lld",&a[i]),sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
    for (int i = 1;i <= n;i ++)
        if (a[i] > m) return cout << -1,0;
    head = 1,tail = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i ++) {
        while(head <= tail && sum[i] - sum[q[head]] > m) st.erase(f[q[head]] + a[q[head + 1]]),head ++;
        while(head <= tail && a[i] > a[q[tail]]) st.erase(f[q[tail - 1]] + a[q[tail]]),tail --;//纯粹更新fj+mx中的mx，因为你mx变大了那么肯定是越前面的点相较于当前的队尾的点更优啊
        if (head <= tail) st.insert(f[q[tail]] + a[i]);
        q[++tail] = i;
        int l = 0,r = i - 1,res = 0;
        while(l <= r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (sum[i] - sum[mid] <= m) res = mid,r = mid - 1;
            else l = mid + 1;
        }
        f[i] = f[res] + a[q[head]];
        if (!st.empty()) f[i] = min(f[i],*st.begin());
    }
    cout << f[n];
    return 0;
}//这题不难想到也可以用线段树优化dp

代码中的注释很精髓的。