CF1485F Copy or Prefix Sum 分析

题目概述

给定一个整数数组 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\)。

如果一个整数数组 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 满足对于每个 \(i\)（\(1 \leq i \leq n\)），至少满足以下两个条件之一：

• \(b_i = a_i\)，或者
• \(b_i = \sum_{j=1}^{i} a_j\)，

则称该数组为“混合数组”。

请你计算有多少个“混合数组” \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)。由于答案可能很大，请输出对 \(10^9 + 7\) 取模后的结果。

数据范围：\(1\leq n\leq 10^5\)。

分析

套路地设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个都填了其和 \(j\) 的方案。

有：

• \(a_i=b_i\)，所以 \(f_{i,j}=f_{i-1,j-b_i}\)。
• \(b_i=\sum a_j\)，所以 \(f_{i,b_i}=f_{i-1,x}\)，其中 \(x\) 为任意数。

考虑到这样存会炸，而 \(x\) 显然只是和出现过的数相关，直接用 \(map\)。

第一个情况相当于位移，第二个情况相当于全局和。

所以考虑维护全局和，第一种情况对全局和不会造成影响，而第二种情况会对全局和贡献上一个的全局和除开上一个本身（应为第二种情况需要覆盖第一种情况）。

直接做就行了。

代码

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stdlib.h>
#include <vector>
#include <map>
#define int long long
// #define N 
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
map<int,int> f;
signed main(){
    int T;
    cin >> T;
    for (;T--;) {
        f.clear();
        int n,res = 0,ans;
        ans = f[0] = 1;
        scanf("%lld",&n);
        for (int x;n --;) {
            scanf("%lld",&x);
            int val = ans - f[res];
            f[res] = ans;
            ans = ((ans + val) % mod + mod) % mod;
            res -= x;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}