P1600 [NOIP 2016 提高组] 天天爱跑步 分析

题目概述

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1600。

给你一棵树，每个节点上有一个观察时间，现在有 \(m\) 个选手，选手会以每秒一个节点的速度，从 \(s_i\) 到 \(t_i\)。

求对于每个节点的观察时间能观察到多少个选手。

分析

经典题目记录一下。

显然，从 \(s_i\) 到 \(t_i\)，可以拆成 \(s_i\rightarrow lca\) 以及 \(lca\rightarrow t_i\)。

于是我们分两类进行讨论。

左半部分（\(s_i\rightarrow lca\)）

那么第 \(i\) 个选手能在节点 \(u\) 被观察到当且仅当：\(dep_{s_i}-dep_{u}=w_u\)。

把相同下标的放一起有：\(dep_{s_i}=w_u+dep_u\)。

也就是说在这条路径上面每个点需要查询自己能不能满足 \(dep_u+w_u=dep_{s_i}\)，相当于我可以放 \(dep_{s_i}\) 到这个点上作为我要求的答案，这种方法在 dsu on tree 很常见。

右半部分（\(t_i\rightarrow lca\)）

在节点 \(u\) 能够被观察到当且仅当：\(dep_{s_i}+dep_u-2\times dep_{lca}=w_u\)。

移项可得：\(w_u-dep_u=dep_{s_i}-2\times dep_{lca}\)。

结合

用两个桶存即可，只需要遍历子树，所以说直接差分。

代码

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n+m\log n)\)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <vector>
#define int long long
#define N 300005
#define PII pair<int,int>
using namespace std;
const int D = 3e5;
int fa[N][30],dep[N];
vector<int> g[N];
vector<PII> add[N],del[N];
int cnt[2][N << 1];
void dfs0(int cur,int father) {
    fa[cur][0] = father;
    dep[cur] = dep[father] + 1;
    for (auto i : g[cur])
        if (i != father) dfs0(i,cur);
}
int LCA(int x,int y) {
    if (x == y) return x;
    if (dep[x] < dep[y]) x ^= y ^= x ^= y;
    for (int j = 25;j >= 0;j --)
        if (dep[fa[x][j]] >= dep[y]) x = fa[x][j];
    if (x == y) return x;
    for (int j = 25;j >= 0;j --)
        if (fa[x][j] != fa[y][j]) x = fa[x][j],y = fa[y][j];
    return fa[x][0];
}
int n,m,w[N],ans[N];
void dfs(int cur,int fa) {
    int pre1 = cnt[0][w[cur] + dep[cur] + D],pre2 = cnt[1] [w[cur] - dep[cur] + D];
    for (auto i : add[cur]) cnt[i.first][i.second + D] ++;
    for (auto i : del[cur]) cnt[i.first][i.second + D] --;
    for (auto i : g[cur])
        if (i != fa) dfs(i,cur);
    ans[cur] = cnt[0][w[cur] + dep[cur] + D] - pre1 + cnt[1][w[cur] - dep[cur] + D] - pre2;
}
signed main(){
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1;i < n;i ++) {
        int u,v;
        scanf("%lld%lld",&u,&v);
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    for (int i = 1;i <= n;i ++) scanf("%lld",&w[i]);
    dfs0(1,0);
    for (int j = 1;j <= 25;j ++)
        for (int i = 1;i <= n;i ++)
            fa[i][j] = fa[fa[i][j - 1]][j - 1];
    for (int i = 1;i <= m;i ++) {
        int st,ed;
        scanf("%lld%lld",&st,&ed);
        int t = LCA(st,ed);
        add[st].push_back({0,dep[st]}),del[fa[t][0]].push_back({0,dep[st]});
        add[ed].push_back({1,dep[st] - 2 * dep[t]}),del[t].push_back({1,dep[st] - 2 * dep[t]});
    }
    dfs(1,0);
    for (int i = 1;i <= n;i ++) cout << ans[i] << ' ';
    return 0;
}