P7521 [省选联考 2021 B 卷] 取模 分析

题目概述

给你 \(n\) 个数 \(a_i\)。

求：\(\max_{i\ne j\ne k}(a_i+a_j)\bmod a_k\)。

分析

好题！

我一开始看到是无从下手的。

但是细想一下，关键点在于 \(a_k\)，所以的说，枚举 \(a_k\) 是必不可少的。

然后我们令剩余的数全部对 \(a_k\) 取模，得到答案的途径有两种：

• \(b_i+b_j\geq a_k\)，因为两者相加最多减去一个 \(a_k\)，这种情况直接取两个最大的就行了，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。
• \(b_i+b_j< a_k\)，这个用 \(l,r\) 双指针框住区间取两端即可，相当于枚举 \(l\)，那么所对应的 \(r\) 是单调递减的，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。

两者都需要先排序。

对于每一个 \(a_k\) 都做一遍这个我们是承担不起的。

那么贪心地先做大的 \(a_k\)，这个是显然的。

如果过说我现在的 \(ans\) 不小于当前的模数（因为在此种情况下不可能存在更大的解），直接退出即可。

那么这个剪枝是很强的（还需要注意对于相等的 \(a_k\) 只做一遍，怕那种全都是一样的数据）。

可以证明一下。

代码

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log V\log n)\)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <stdlib.h>
#include <vector>
#define int long long
#define N 200005
using namespace std;
int n,a[N],b[N];
int solve(int id) {
    int cnt = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i ++)
        if (i != id) b[++cnt] = a[i] % a[id];
    stable_sort(b + 1,b + 1 + cnt);
    int res = (b[cnt] + b[cnt - 1]) % a[id];
    for (int l = 1,r = cnt;l < r;l ++) {
        while(l < r && b[r] + b[l] >= a[id]) r --;
        if (l < r) res = max(res,b[l] + b[r]);
    }
    return res;
}
signed main(){
    cin >> n;
    for (int i = 1;i <= n;i ++) scanf("%lld",&a[i]);
    stable_sort(a + 1,a + 1 + n,greater<int>());
    int ans = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i ++) {
        if (ans >= a[i]) break;
        if (a[i] == a[i - 1]) continue;
        ans = max(ans,solve(i));
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

证明时间复杂度

假设：

\[a_1>a_2>\dots>a_x>ans>a_{x+1}>\dots>a_n \]

因为 \(ans\) 是最大的答案，根据第一部分我们对于任意 \(i(1\leq i\leq x-2)\) 有：

\[(a_{i+1}+a_{i+2})\bmod a_i\leq ans \]

因为：

\[a_i>a_{i+1}>a_{i+2}>ans \]

所以：

\[(a_{i+1}+a_{i+2})\bmod a_i\leq ans<a_{i+1}+a_{i+2}<2a_i \]

因此我们至少有：

\[a_i\leq a_{i+1}+a_{i+2}<2a_i \]

这就说明了中间的那个式子要是与左边的式子多加上一个 \(a_i\) 比较那肯定是变小的。

我们此时联系上一个式子，把 \(ans\) 换代进来也是一样地有：

\[ans<a_{i+1}+a_{i+2}<ans+a_i \]

注意后面的式子，我们考虑同构，于是左右两边同时减去 \(2ans\) 有：

\[(a_{i+1}-ans)+(a_{i+2}-ans)<a_i-ans \]

同构了！令 \(f_i=a_i-ans\) 那么有：

\[f_{i+1}+f_{i+2}<f_i \]

这很像一个倒着的斐波那契数列，这个东西是呈指数级增长的，所以说是 \(\mathcal{O}(\log V)\) 的时间复杂度。

真神啊这题！