反悔贪心复习笔记

讲解

本质上就是先贪心选择，遇到更优的再换。

P1484 种树

题目概述

给你 \(n\) 个位置，每个位置上有权值 \(a_i\)，你至多选择 \(m\) 个位置两两不相邻，求你得到的最大权值。

分析

首先设 \(l_i,r_i\) 表示旁边两个位置。

用大根堆存值和下标。

如果我当前选择了 \((val,i)\)（如果 \(val\leq 0\) 就直接退出，因为是至多选 \(m\) 个），按照下面的步骤进行：

• 让答案 \(ans+val\)。
• 让 \(a_i=a_{l_i}+a_{r_i}-a_i\)，作为反悔，因为下一次如果选到这个值，就说明我不要 \(i\)，而要另外的两个。
• 将 \((a_i,i)\) 放入队列中（记得删除队列中标记不能选择的值）。
• 执行 del(i) 函数
  • 标记 \(l_i,r_i\) 不可选择，令 \(l_i=l_{l_i},r_i=r_{r_i}\)，因为下一次选择这个值的时候不可选的就是另外两个的了（可以看作把他们三个合并成一个了）。
  • 令 \(l_{r_i}=i,r_{l_i}=i\)。

为什么可以合并呢？

假设 \(5\) 个数 \([a,b,c,d,e]\)，你先选择了 \(c\)，然后将 \([b,c,d]\) 合并成 \(b+d-c\)，下一次答案加这个值的时候就少了 \(c\)。

所以序列变成了 \([a,b+d-c,e]\)，你又选择了 \(b+d-c\)，那么所以将 \([a,b+d-c,e]\) 合并成 \(a+e-b-d+c\)，是不是中间的那个又选上了，而且这个选的次数是恰好递增的。

因为是合并，所以我们的标记数组是不会变的。

代码

时间复杂度 \(\mathcal{O}(m\log n)\)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#define int long long
#define PII pair<int,int>
#define N 300005
using namespace std;
int n,k,a[N],l[N],r[N];
bool vis[N];
priority_queue<PII> q;
void del(int id) {
    vis[l[id]] = vis[r[id]] = 1;
    l[id] = l[l[id]];
    r[id] = r[r[id]];
    r[l[id]] = id;
    l[r[id]] = id;
}
signed main(){
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1;i <= n;i ++) scanf("%lld",&a[i]),l[i] = i - 1,r[i] = i + 1;
    for (int i = 1;i <= n;i ++) q.push({a[i],i});
    int ans = 0;
    for (int i = 1;i <= k;i ++) {
        while(vis[q.top().second]) q.pop();
        auto t = q.top();
        q.pop();
        if (t.first <= 0) break;
        ans += t.first;
        a[t.second] = a[l[t.second]] + a[r[t.second]] - a[t.second];
        q.push({a[t.second],t.second});
        del(t.second);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}  

P1792 [国家集训队] 种树

题目概述

更上一题差不多，只不过要求了必须要 \(m\) 个，且序列是一个环。

分析

同理。

代码

时间复杂度 \(\mathcal{O}(m\log n)\)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <stdlib.h>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#define int long long
#define N 200005
#define PII pair<int,int>
using namespace std;
int n,m,a[N],l[N],r[N];
bool vis[N];
priority_queue<PII> q;
void del(int id) {
    vis[l[id]] = vis[r[id]] = 1;
    l[id] = l[l[id]],r[id] = r[r[id]];
    r[l[id]] = id,l[r[id]] = id;
}
signed main(){
    cin >> n >> m;
    if (m > n / 2) return cout << "Error!",0;
    for (int i = 1;i <= n;i ++) scanf("%lld",&a[i]),l[i] = i - 1,r[i] = i + 1,q.push({a[i],i});
    r[n] = 1;
    l[1] = n;
    int ans = 0;
    for (int i = 1;i <= m;i ++) {
        while(vis[q.top().second]) q.pop();
        auto t = q.top();
        q.pop();
        ans += t.first;
        a[t.second] = a[l[t.second]] + a[r[t.second]] - a[t.second];
        q.push({a[t.second],t.second});
        del(t.second);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}