CF506C Mr. Kitayuta vs. Bamboos & 51nod1457 小K vs. 竹子 题目分析

题目概述

小K的花园种着n颗竹子（竹子是一种茎部中空并且长得又高又快的热带植物）。此时，花园中第i颗竹子的高度是hi米，并且在每天结束的时候它生长ai米。

　　实际上，小K十分讨厌这些竹子。他曾经试图去砍光它们，但由于竹子的茎部太坚固而失败了，然而，小K制作了魔法锤使这些竹子只能在地面上生长。

　　由于魔法力量有限，他每天最多能使用K次魔法锤。每次他使用魔法锤敲击竹子，竹子的高度就会减少p米。通过这次改变，如果竹子的高度变为负数，那它转而会变为0米（但它不会消失）。换言之，如果一颗被魔法锤敲击的竹子的高度是h，那它的新高度将会是max(0, h - p)米。我们可以在一天中多次敲击同一颗竹子。

　　小K将会从今天开始和这些竹子抗战m天。他的目标是在m天后使其中最高的竹子的高度最小化（即，“小K敲击竹子，然后竹子生长”的m次迭代）。找出m天后，最高的竹子的高度的最小可能值。

　Input
　　输入的第一行包含四个以空格隔开的整数n，m，k和p(1 ≤ n ≤ 10^5 ,1 ≤ m ≤ 5000, 1 ≤k≤ 10, 1 ≤ p ≤ 10^9)。它们分别表示小K 花园中的竹子数，小K抗战的持续天数，每天小K能敲击竹子的最多次数和魔法锤的力量。
　　接下来n行描述了竹子的特性，第i行(1 ≤ i ≤ n) 包含两个以空格隔开的整数hi和ai，(0 ≤ hi ≤ 10^9, 1 ≤ ai ≤ 10^9)，分别表示第i颗竹子的初始高度和生长速率。
　Output
　　输出m天后，最高的竹子的高度的最小可能值。

分析

神仙。

教练说布置的蓝题绿题作业，CF*2900,666666。。。。。。。

好了步入正题。

显然二分答案，考虑发现正着做很难（我想不出来），考虑倒着做。

也就是说，一开始的竹子都是 \(mid\) 的高度，那么每过一天，竹子就会下降一个值，你需要每天用 \(k\) 次机会将它拉高 \(p\) 个单位。

我们需要保证这整个过程中不能出现负数。

为什么，出现负数说明按照你这个方案最后会使得他大于当前的 \(mid\)，会使得不合法。

这种转换的方式巧妙之处在于没有了砍成负数变为 \(0\) 的限制，就很舒服。

如果存在竹子再过一些天高度就变负数的话，就用在变负天数最少的竹子上。不然就用在最后和实际初始高度差最大的竹子上。用个堆维护一下当前编号、长度、还有几天即可。

代码

时间复杂度 \(\mathcal{O}(mk\log A\log n)\)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
#define int long long
#define N 100005
int n,m,k,p;
struct node{
    int len,delta;
}a[N],b[N];
struct hep{
    int id,h,tim;
    bool operator<(const hep&adv) const {
        return tim > adv.tim;
    }
};
priority_queue<hep> q;
bool check(int bz) {
    while(!q.empty()) q.pop();
    for (int i = 1;i <= n;i ++)
        if (bz < a[i].delta * m + a[i].len)
            q.push({i,bz,bz / a[i].delta + 1});
    for (int i = 1;i <= m && !q.empty();i ++) {
        for (int j = 1;j <= k && !q.empty();j ++) {
            auto now = q.top();
            q.pop();
            if (now.tim <= i) return 0;
            now.h += p,now.tim = now.h / a[now.id].delta + 1;
            if (now.h < a[now.id].delta * m + a[now.id].len) q.push(now);
        }
    }
    return q.empty();
}
signed main(){
    cin >> n >> m >> k >> p;
    int l = 0,r = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i ++) scanf("%lld%lld",&a[i].len,&a[i].delta),l = max(l,a[i].delta),r = max(r,a[i].delta * m + a[i].len);
    int res = r;
    while(l <= r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) res = mid,r = mid - 1;
        else l = mid + 1;
    }
    cout << res;
    return 0;
}