产品排序

题目概述

你是一个公司的员工,你会按时间顺序受到一些产品的订单,你需要用一个栈来改变这些订单的顺序(每个产品都必须入栈和出栈一次)。
　　
按初始顺序,每次可以将一个产品入栈,或将栈顶产品弹至现在的序列末尾。

　　每个产品有一个制作时间t i 和单位时间惩罚值d i 。

　　总的惩罚值为∑ ni=1 (s i × d i ),其中s i 为第i个产品的完成时间,你需要最小化总的惩罚值。

分析

考虑区间 \(dp\)。

设 \(f_{i,j}\) 表示处理 \([i,j]\) 最小的总惩罚值。

分类：

• 产品 \(i\) 第一个出栈，则有 \(f_{i,j}=t_i\times sd_{i,j}+f_{i+1,j}\)
• 产品 \(i\) 第 \(k\) 个出栈，则有 \(f_{i,j}=f_{i+1,k}+f_{k + 1,j}+st_{i,k}\times(d_i+sd_{k+1,j})\)。

第二种情况第 \(k\) 个出栈，那肯定 \(i+1\) 到 \(k\) 都已经出完栈了，所以后这些贡献。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,t[205],d[205];
int st[205][205],sd[205][205],f[205][205];
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>t[i]>>d[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=i;j<=n;j++){
            st[i][j]=st[i][j-1]+t[j];
            sd[i][j]=sd[i][j-1]+d[j];
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){
        f[i][i]=t[i]*d[i];
        for(int j=i+1;j<=n;j++){
            f[i][j]=t[i]*sd[i][j]+f[i+1][j];
            for(int k=i+1;k<=j;k++){
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i+1][k]+st[i][k]*(d[i]+sd[k+1][j])+f[k+1][j]);
            }
        }
    }
    cout<<f[1][n];
}