UVA1482 Playing With Stones 题目分析

UVA1482 Playing With Stones 题目分析

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分析题目性质

这是一道博弈论题目，没有比较明显的结论后我们一般采用打表 \(SG\) 函数，然后找规律。

思路

经过上述，我们不难得到打表 \(SG\) 的代码（由于原本要到 \(10^{18}\)，但数组存不下，这里只能考虑取样调查）：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <stdlib.h>
#define N 105
#define int long long
using namespace std;
int sg[114514],T,a[N],n;
bool vis[114514];
signed main(){
	sg[1] = 0;
	for (int i = 2;i <= 15;i ++) {
		memset(vis,0,sizeof vis);
		for (int j = 1;j * 2 <= i;j ++)
			vis[sg[i - j]] = 1;
		for (int j = 0;;j ++)
			if (!vis[j]) {
				sg[i] = j;
				break;
			}
		cout << sg[i] << ' ';
	}
	return 0;
}

程序的输出如下：

1 0 2 1 3 0 4 2 5 1 6 3 7 0

把 \(SG(1)=0\) 加进来就是在前面多了一个 \(0.\)

我们似乎发现了一些规律：

• 对于 \(x\) 为偶数，那么它的 \(SG(x)=\frac{x}2.\)

把偶数项删掉，得到：

0 1 0 2 1 3 0

我们发现这和原来的 \(SG\) 前 \(\frac{len}{2}\) 个是一样的（假设 \(len\) 为原本长度）。

于是又得到了：

• 当 \(x\) 为奇数时，那么它的 \(SG(x)=SG(\lfloor\frac{x}{2}\rfloor).\)

这个过程的时间复杂度为 \(\mathcal{O}(\log x)\) 的。

那么我们不难用以下程序实现，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n\log a_i)\)：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <stdlib.h>
#define N 105
#define int long long
using namespace std;
int T,n;
int sg(int x) {
	if (x & 1) return sg(x / 2);
	else return x / 2;
}
signed main(){
	cin >> T;
	for (;T--;) {
		cin >> n;
		int v = 0;
		for (int i = 1,x;i <= n;i ++) {
			cin >> x;
			v ^= sg(x);
		} 
		if (v) puts("YES");
		else puts("NO");
	}
	return 0;
}