随笔分类 - 数学
摘要：##大步小步算法（baby step giant step，BSGS） 是一种用来求解离散对数（即模意义下对数）的算法，即给出 $a^x \equiv b \pmod m$ 中$a,b,m$ 的值（这里保证 $a$ 和 $m$ 互质，求解 $m$ 既然保证了 $a$ 和 $m$ 互质，那么很容易联想
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摘要：###前置知识 ####欧拉函数 若正整数m,a，满足$(a,m)=1$，则$a^{\phi(m)}\equiv 1(mod: m)$ ####阶 若正整数m,a，满足$(a,m)=1$，则使得$a^n\equiv 1(mod : m)\(的最小正整数n称为a模m的阶，记为\)\delta_m(a)
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摘要：###背包 ####题解 构造生成函数 那么相乘得到$F(x)=\frac{x}{1-x^4}=x\sum_{i\geq 0}{i+4-1\choose i}x^i=\sum_{i\geq 1}{i+3\choose i}x^i$ 则$ans=[x^n]F(x)=\frac{n(n+1)(n+2)}
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摘要：####多项式：\(A(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i\) ####形式幂级数：\(A(x)=\sum_{i\geq0}a_ix^i\) 其中$a_i\in K$，K是一个域，通常我们考虑$K=\mathbb{R}或K=\mathbb{Z}_p$ 注意这里的x可以理解为独立于域K的一个
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摘要：####向量空间的基 向量空间中最大的线性无关组称为该向量空间的一组基 ####线性无关组 一些向量$v_1,v_2,···,v_k$ 不存在$a_1v_1+a_2v_2+···+a_kv_k=0且a_1,a_2,···,a_k不全为零$ ###线性基 一般指$\mathbb{Z}_2$(模2下，或
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摘要：###题目描述 ###题解 首先设$f(S)=\sum_{T\subseteq S}g(\sum_{t\in T}t),g(n)=fib(n)^2$ 一个性质： \(h(n)=f(n)*g(n)\),若$f(n),g(n)$都为线性递推式，则$h(n)$也为线性递推式 那么 \(fib(n)^2=[
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摘要：###题目描述 ###题解 \(sin(x+v)=sinxcosv+cosxsinv\) \(cos(x+v)=-sinxsinv+cosxcosv\) 所以 $$\begin{pmatrix} sin(x+v)\cos(x+v) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} cos
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摘要：##矩阵 设K为一个域，满足$\forall 1 \leq i,j \leq n,a_{ij}\in K$的数表 $$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&···&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&···&a_{2n}\ ·&·&&·\ ·&·&&·\ a_{n1
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摘要：##题面描述 给一个$m\cdot n$的方格，每个格子可以是黑色或者白色。要求左右相邻两格不能同为白色且相邻两列不能全为黑色。求满足条件的方案数.\(1\leq m \leq 5 , 1\leq n\leq 10^{18}\) ###题解 因为$m$很小，所以可以每列每列的考虑，每列可以用状压来表
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摘要：###狄利克雷卷积 设$f: N\rightarrow R g:N\rightarrow R$是两个函数 则它们的狄利克雷卷积为$(fg)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$ ###命题 如果$f(n)和g(n)为积性函数，则h(n)=(fg)(n)也为积性函数$ ##
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摘要：###题面描述 ###题解 求$\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}lcm(a_i,a_j)=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\frac{a_ia_j}{gcd(a_i,a_j)}$ 设$f(d)=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_
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摘要：###题面描述 ###题解 设$[condition]= \begin{cases} 1 & \text{if condition 成立}\ 0& \text{if condition 不成立} \end{cases}$ 则$ans=\sum_{1\leq x,y\leq n}[a_{b_x}=b_
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摘要：####铺垫 已知$g(n)$的前缀和$f(n)=\sum_{I=1}^ng(i)$,则可以通过f来反求g,\(g(n)=f(n)-f(n-1)\) 已知$g(n)$的因数和$f(n)=\sum_{d|n}g(d)$,如何通过f来反求g \(g(n)=g(p_1^{\alpha1}p_2^{\alp
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摘要：####题面 ###题解 首先考虑$f_0(n)$ 不难发现$f_0(n)=f_0(p_1^{\alpha 1}p_2^{\alpha 2}···p_k^{\alpha k})=2k$ 对于互质的两个数p,q 不难发现$f_0(pq)=f_0(p)f_0(q)=2{p+q}$ 则$f_0(n)$为积
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摘要：##定义 #####如果$f:N\rightarrow R$,满足对任意互质的正整数$p,q$,都有$f(qp)=f(q)f(p)$,则称f(x)为积性函数 ####例子： \(1(n)=1\) \(id(n)=n\) \(\epsilon(n)=[n=1],\epsilon(1)=1,\epsil
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摘要：###题目描述 ###题解 对于每次询问可以对新加入的数或移除的数进行单独贡献计算 假设新加入或移除的数为$x=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}···p_k^{\alpha_k}$ 显然每个质数的系数无关紧要，所以对一新加入\移除的数只考虑已存在的数中是否有$p_1,p_2,
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摘要：###问题描述 有n个互不相同的球，放到k个互不相同的盒子里，每个盒子里至少要有一个球，求方案数 #####递推式方式： \(f[n][k]=k*f[n-1][k]+f[n-1][k-1]\) \(f[n][k]记为第二类斯特林数，记为S_2(n,k)\) 时间复杂度为$O(kn)$ #####用容
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摘要：###题目描述 ###题解 首先可以知道一个矩阵最多只能有8个特殊点，因此这8个点的状态很好表示，并且n,m数据范围很小，可以考虑用状压dp来计算 因为局部极小值为周围最小的，可以考虑从小到大填数 设dp[i][j]为填了前i个数，特殊点状态为j的方案数(j的二进制第i位表示第i个特殊点是否填上)
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摘要：##定理 设S是一个有限集，$A_1,A_2,···,A_n$是S的n个子集，则 $|\bigcup_{i=1}^nA_i|=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\cdot\sum_{1 \leq j_1< j_2···< j_i\leq n}|\bigcap_{k=1}^{i}A_{j_k
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摘要：\({n \choose m}=\frac{n!}{(n-m)!m!}\) \({n \choose m}={n-1 \choose m-1}+{n-1 \choose m}\) 取n \({n-1 \choose m-1}\) 不取n \({n-1 \choose m}\) \({n \choos
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