排列和组合

\({n \choose m}=\frac{n!}{(n-m)!m!}\)

\({n \choose m}={n-1 \choose m-1}+{n-1 \choose m}\)

取n \({n-1 \choose m-1}\)

不取n \({n-1 \choose m}\)

\({n \choose m}=\frac{n}{m} {n-1 \choose m-1}=\frac{n-m+1}{m} {n \choose m-1}\)

求组合数

1. 递推
2. 质数模，预处理n!的逆元来直接求

求不定方程\(x_1+x_2+···+x_k=n\)的解的数量，\(x_i\)为整数，且\(x_i\geq 1\),

插板法\({n-1 \choose k-1}\)

若\(x_i\geq a_i\)

设\(y_i=x_i-a_i+1\geq 1\)
则\(y_1+y_2+···+y_k=x_1+x_2+···+x_k+k-\sum_{i=1}^{k}a_i=n+k-\sum_{i=1}^{k}a_i\)用插板法即可

答案为\({n+k-1-\sum_{i=1}^{k}a_i \choose k-1}\)

若求\(x_1+x_2+···+x_k=n\)的非负整数解\(x_i\geq0\)

则\(ans={n+k-1 \choose k-1}\)

若\(x_1+x_2+···+x_k\leq n\)

则令\(x_1+x_2+···+x_k+z=n(z\geq 0)\)，用上述方法即可求

多重全排列

求r1个1，r2个2，…，rt个t的排列数
设\(l=r_1+r_2+···+r_t\)
\(ans={l \choose r_1}{l-r_1 \choose r_2}{l-r_1-r_2 \choose r_3}····{l-r_1-r_2-···-r_t \choose r_t}=\frac{l!}{r_1!r_2!···r_t!}\)