对偶问题

对偶问题

定义

其实就是一个式子：

\[\max\lbrace c^Tx\mid Ax\leq b\rbrace=\min\lbrace b^Ty|A^Ty\geq c\rbrace \]

其中\(x,y,b,c\)为列向量(只有一列的矩阵)，\(A\)为一个\(n\times m\)的矩阵，\(A^T\)表示\(A\)的转置。

两个矩阵比大小：若\(A\)中的每个元素在\(B\)中对应位置均小于\(A\)，则有\(A<B\)。

感觉好像很迷啊。。。那么这个东西我们怎么理解呢？

现在我们有一个商人，它要卖商品，然后我们还有一些原料，考虑这些东西代表什么：

\(A_{j,i}:\) 第\(i\)个商品需要多少个原料\(j\)。

\(b:\) 每种原料有多少。

\(x:\) 每种商品卖了多少。

\(c:\) 每种商品的价格。

再看看左边的式子，就好理解多了，表示的就是他最多能卖出的价格，

那么右边的式子呢？这个商人现在转行了，他不卖商品了，他去卖原料去了。。。（雾

那么有：

\(y:\) 每种原料一个单位以多少的价格卖出。

那么我们想一想，你既然都卖原料了，那肯定利润要比直接卖商品多啊，而且必须保证每种原料换成商品比原来卖的价格高啊，所以我们就有了左边=右边

感性理解吼啊

例题

CF671D

考虑这道题怎么用对偶问题转化：

\(c\)为全\(1\)列向量，长度为\(m\)。
\(y\)为\(0,1\)长度为\(m\)列向量，表示一条链选或不选。
\(A\)为有\(m\)行，\(n-1\)列的矩阵，\(A[j][i]\)表示第\(i\)条边是否包含于第\(j\)条链中。
\(b\)表示长为\(m\)的列向量，表示选一条链的代价。

然后我们就只要使\(c^Tx\)最大，只需要考虑\(x\)是什么了。

发现\(x\)即为每条边在所有链中出现了多少次，而限制条件即为这条边被覆盖的次数小于等于包含它的链的权值。

这样我们就将问题转化了，后续过程戳这里。