【POJ2104】K-th Number
【POJ2104】K-th Number
题面
题解
其实就是一道主席树\(sb\)题
但是为了学习整体二分的需要就用整体二分写了。。。
所以主要利用此题讲一下整体二分到底是个啥（以下部分参考李煜东《算法竞赛进阶指南》）：
两个例子
\(Eg1\)
给定一个正整数序列\(A\)及固定的整数\(S\)，执行\(M\)此操作
每次查询\(l\)~\(r\)间不大于\(S\)的数或将\(A[x]\)改为\(y\)。
很简单吧。。。
用树状数组维护一下就好了吧。。。
\(Eg2\)
给定一个正整数序列，求此序列的第\(K\)小数是多少。
看到这里也许你觉得我是个傻逼。。。直接排一遍序就好了啊
但是，为了引入整体二分使问题复杂化，我们采用第二种方法：
二分答案，设当前二分值为\(mid\)，统计有多少个数\(\leq mid\)，记为\(cnt\)
1.若\(K \leq cnt\)，则说明K小数值一定\(\in\)\([l, mid]\)，可在左半区间继续二分
2.若\(K > cnt\)，则最小数一定\(\in\)\([mid+1, r]\)，等价于在值域\([mid+1,r]\)下寻找\(K-cnt\)小的数
复杂度\(N\) \(logSIZE\)
回到\(POJ2104\)，要求\(M\)个形如“求序列\(A\)第\(l\)到\(r\)个数中第\(k\)小的数”，这样做\(M\)次显然是不行的
而这样做\(M\)次中会有大量冗余状态，于是就有了---整体二分
整体二分
对于此题，
我们套用\(Eg2\)的做法
尝试在序列\(A\)中值域\([MINA,MAXA]\)二分答案\(mid\)
记区间\(l_i\)\(r_i\)中小于等于\(mid\)的数有\(c_i\)个
然后将这些询问分类：
1.若\(k_i\) \(\leq\) \(c_i\)，则说明第\(i\)个询问的答案在\([MINA,mid]\)中
2.若\(k_i>c_i\)，则说明第\(i\)个询问的答案在\([mid+1,MAXA]\)中，且等价于在值域\([mid+1,MAXA]\)中查询第\(k_i-c_i\)小的数
然后分别把上面两类分为子序列\(LA\)和\(RA\)，分开处理即可
对于统计\(c_i\)可以利用\(Eg1\)中的树状数组维护
具体实现还是看代码吧，感觉越讲越懵啊。。。
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int gi() {
register int data = 0, w = 1;
register char ch = 0;
while (ch != '-' && (ch > '9' || ch < '0')) ch = getchar();
if (ch == '-') w = -1 , ch = getchar();
while (ch >= '0' && ch <= '9') data = data * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
return w * data;
}
const int MAX_N = 200005, INF = 1e9;
struct rec {int op, x, y, z; } q[MAX_N << 1], lq[MAX_N << 1], rq[MAX_N << 1];
int N, M, tot, c[MAX_N], ans[MAX_N];
inline int lb(int x) { return x & -x; }
void add(int x, int v) { while (x <= N) c[x] += v, x += lb(x); }
int sum(int x) { int res = 0; while (x > 0) res += c[x], x -= lb(x); return res; }
int X[MAX_N], cnt;
void Div(int lval, int rval, int st, int ed) {
if (st > ed) return ;
if (lval == rval) {
for (int i = st; i <= ed; i++)
if (q[i].op > 0) ans[q[i].op] = lval;
return ;
}
int mid = (lval + rval) >> 1;
int lt = 0, rt = 0;
for (int i = st; i <= ed; i++) {
if (q[i].op == 0) {
if (q[i].y <= mid) add(q[i].x, 1), lq[++lt] = q[i];
else rq[++rt] = q[i];
} else {
int res = sum(q[i].y) - sum(q[i].x - 1);
if (res >= q[i].z) lq[++lt] = q[i];
else q[i].z -= res, rq[++rt] = q[i];
}
}
for (int i = st; i <= ed; i++) {
if (q[i].op == 0 && q[i].y <= mid) add(q[i].x, -1);
}
for (int i = 1; i <= lt; i++) q[st + i - 1] = lq[i];
for (int i = 1; i <= rt; i++) q[st + lt + i - 1] = rq[i];
Div(lval, mid, st, st + lt - 1);
Div(mid + 1, rval, st + lt, ed);
}
int main () {
N = gi(), M = gi();
for (int i = 1; i <= N; i++) {
int v = gi();
q[++tot].op = 0, q[tot].x = i, X[++cnt] = q[tot].y = v;
}
sort(&X[1], &X[cnt + 1]); cnt = unique(&X[1], &X[cnt + 1]) - X - 1;
for (int i = 1; i <= N; i++) q[i].y = lower_bound(&X[1], &X[cnt + 1], q[i].y) - X;
for (int i = 1; i <= M; i++) {
q[++tot].op = i, q[tot].x = gi(), q[tot].y = gi(), q[tot].z = gi();
}
Div(1, N, 1, tot);
for (int i = 1; i <= M; i++) printf("%d\n", X[ans[i]]);
return 0;
}
另附主席树代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int gi() {
register int data = 0, w = 1;
register char ch = 0;
while (ch != '-' && (ch > '9' || ch < '0')) ch = getchar();
if (ch == '-') w = -1 , ch = getchar();
while (ch >= '0' && ch <= '9') data = data * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
return w * data;
}
#define MAX_N 200005
struct Node {
int ls, rs, val;
} t[MAX_N << 5];
int cnt = 0, rt[MAX_N << 5];
void build(int &o, int l, int r) {
o = ++cnt;
if (l == r) return ;
int mid = (l + r) >> 1;
build(t[o].ls, l, mid);
build(t[o].rs, mid + 1, r);
}
void insert(int &o, int pre, int l, int r, int x) {
o = ++cnt;
t[o].ls = t[pre].ls; t[o].rs = t[pre].rs; t[o].val = t[pre].val;
t[o].val++;
if (l == r) return ;
int mid = (l + r) >> 1;
if (x <= mid) insert(t[o].ls, t[pre].ls, l, mid, x);
else insert(t[o].rs, t[pre].rs, mid + 1, r, x);
}
int query(int u, int v, int l, int r, int k) {
if (l == r) return l;
int sz = t[t[u].ls].val - t[t[v].ls].val;
int mid = (l + r) >> 1;
if (sz < k) return query(t[u].rs, t[v].rs, mid + 1, r, k - sz);
else return query(t[u].ls, t[v].ls, l, mid, k);
}
int N, M, a[MAX_N];
int X[MAX_N];
int main () {
N = gi(), M = gi();
for (int i = 1; i <= N; i++) X[i] = a[i] = gi();
sort(&X[1], &X[N + 1]);
int size = unique(&X[1], &X[N + 1]) - X - 1;
build(rt[0], 1, N);
for (int i = 1; i <= N; i++) {
int x = lower_bound(&X[1], &X[size + 1], a[i]) - X;
insert(rt[i], rt[i - 1], 1, N, x);
}
while (M--) {
int l = gi(), r = gi(), v = gi();
printf("%d\n", X[query(rt[r], rt[l - 1], 1, N, v)]);
}
return 0;
}
