【高中数学之古典概率】甲乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上标有数字1，3，5，7，乙的卡片上标有数字2，4，6，8......2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标I卷）第14题
【题目】
甲乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上标有数字1，3，5，7，乙的卡片上标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片，弃置的卡片在此后的轮次中不能使用，则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为多少？
【来源】
2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标I卷）第14题(最后一道填空题)
【解题思路】
此题暂时没找到窍门，实际解法是列表法
首先将甲四张牌全排列的24中方式列出，将乙固定为2，4，6，8的形式，比较完会发现甲得分不小于2有12次，占总数24次的50%；
其次将将乙固定为4，2，6，8的形式，再次进行两者比较，发现甲得分不小于2依然有12次，占总数24次的50%；
两轮比较后会得出总概率为50%的结论。
此法虽笨但有效，对已有事实进行归纳并推而广之也是数学能力的一部分。
【程序思路】
基本是列表法的拓展，即将甲乙全排列的方式进行全比较，发现总共比较576次，甲得分不小于2的有288次，概率确实是50%
【代码】
package test250423; import java.util.List; /** * 2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标I卷）第14题(最后一道填空题) * 题目: * 甲乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字， * 甲的卡片上标有数字1，3，5，7 * 乙的卡片上标有数字2，4，6，8 * 两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张， * 并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分 * 然后各自弃置此轮所选的卡片，弃置的卡片在此后的轮次中不能使用， * 则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为多少？ * */ public class Test250423 { public static void main(String[] args) { int[] numsJia= {1,3,5,7}; Arranger argerJia = new Arranger(numsJia,numsJia.length); int[] numsYi= {2,4,6,8}; Arranger argerYi = new Arranger(numsYi,numsYi.length); int idx = 0; int sum=0; for (List<Integer> lineYi : argerYi.getResults()) { for (List<Integer> lineJia : argerJia.getResults()) { int score=0; score+=(lineJia.get(0)>lineYi.get(0))?1:0; score+=(lineJia.get(1)>lineYi.get(1))?1:0; score+=(lineJia.get(2)>lineYi.get(2))?1:0; score+=(lineJia.get(3)>lineYi.get(3))?1:0; if(score>=2) { sum++; } System.out.println(String.format("%03d", ++idx) + "." + score); } } System.out.println("Win:"+sum+" Total:"+idx+" Probability:"+sum*100/idx+"%"); } }
用到的全排列工具类：
package test250423; import java.util.ArrayList; import java.util.List; /** * 用于产生排列结果的工具类 * 从n个元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列。得到所有排列的方案 */ class Arranger { // 保存在内部的对原始元素数组的引用 private int[] arr; // 总计多少元素，此即数组长度 private final int n; // 选多少个 private final int m; // 返回结果 private List<List<Integer>> results; /** * 构造函数一 * 这个构造函数是用于全排列的（n=m=数组长度） * * @arr 原始元素数组 */ public Arranger(int[] arr) { this.arr = arr; this.n = arr.length; this.m = arr.length; this.results = new ArrayList<>(); doArrange(new ArrayList<>()); } /** * 构造函数二 * 这个构造函数是用于部分排列的(m<n=数组长度) * * @param arr 原始元素数组 * @param selCnt 选多少个 */ public Arranger(int[] arr, int selCnt) { this.arr = arr; this.n = arr.length; this.m = selCnt; if (m > n) { throw new ArrayIndexOutOfBoundsException("m:" + m + " >n:" + n); } this.results = new ArrayList<>(); doArrange(new ArrayList<>()); } /** * 使用递归进行全排列，结果放在results中 * * @param initialList 初始链表 */ private void doArrange(List<Integer> initialList) { List<Integer> innerList = new ArrayList<>(initialList); if (m == initialList.size()) { results.add(innerList); } for (int i = 0; i < arr.length; i++) { if (innerList.contains(arr[i])) { continue; } innerList.add(arr[i]); doArrange(innerList); innerList.remove(innerList.size() - 1); } } /** * 获得结果链表的引用 * * @return */ public List<List<Integer>> getResults() { return results; } // 测试 public static void main(String[] args) { int[] numbers = {1, 2, 3, 4}; Arranger arranger = new Arranger(numbers); System.out.println("四元素全排列示例:"); int idx = 0; for (List<Integer> re : arranger.getResults()) { System.out.println(String.format("%02d", ++idx) + "." + re); } /*Arranger arranger2 = new Arranger(numbers, 2); System.out.println("\n四选二排列示例:"); idx = 0; for (List<Integer> re : arranger2.getResults()) { System.out.println(String.format("%02d", ++idx) + "." + re); }*/ } }
【输出结果】
001.0
002.1
003.1
004.2
005.1
006.1
007.1
008.2
009.2
010.3
011.2
012.2
013.1
014.2
015.1
016.2
017.2
018.2
019.1
020.1
021.1
022.1
023.2
024.2
025.1
026.0
027.2
028.1
029.1
030.1
031.2
032.1
033.3
034.2
035.2
036.2
037.2
038.1
039.2
040.1
041.2
042.2
043.1
044.1
045.1
046.1
047.2
048.2
049.1
050.1
051.0
052.1
053.1
054.2
055.2
056.2
057.1
058.2
059.2
060.3
061.1
062.2
063.1
064.2
065.2
066.2
067.1
068.2
069.1
070.2
071.1
072.1
073.1
074.1
075.1
076.0
077.2
078.1
079.2
080.2
081.2
082.1
083.3
084.2
085.2
086.1
087.2
088.1
089.2
090.2
091.2
092.1
093.2
094.1
095.1
096.1
097.2
098.1
099.1
100.1
101.0
102.1
103.3
104.2
105.2
106.2
107.1
108.2
109.2
110.2
111.2
112.2
113.1
114.1
115.1
116.2
117.1
118.2
119.1
120.1
121.1
122.2
123.1
124.1
125.1
126.0
127.2
128.3
129.2
130.2
131.2
132.1
133.2
134.2
135.2
136.2
137.1
138.1
139.2
140.1
141.2
142.1
143.1
144.1
145.1
146.2
147.1
148.2
149.1
150.1
151.0
152.1
153.1
154.2
155.1
156.1
157.1
158.2
159.2
160.3
161.2
162.2
163.1
164.1
165.2
166.2
167.2
168.2
169.2
170.1
171.2
172.1
173.1
174.1
175.1
176.0
177.2
178.1
179.1
180.1
181.2
182.1
183.3
184.2
185.2
186.2
187.1
188.1
189.2
190.2
191.2
192.2
193.1
194.1
195.1
196.1
197.2
198.2
199.1
200.1
201.0
202.1
203.1
204.2
205.2
206.2
207.1
208.2
209.2
210.3
211.2
212.2
213.1
214.2
215.1
216.2
217.1
218.1
219.1
220.1
221.2
222.2
223.1
224.1
225.1
226.0
227.2
228.1
229.2
230.2
231.2
232.1
233.3
234.2
235.2
236.2
237.2
238.1
239.2
240.1
241.2
242.1
243.2
244.1
245.1
246.1
247.2
248.1
249.1
250.1
251.0
252.1
253.3
254.2
255.2
256.2
257.1
258.2
259.2
260.2
261.1
262.2
263.1
264.2
265.1
266.2
267.1
268.2
269.1
270.1
271.1
272.2
273.1
274.1
275.1
276.0
277.2
278.3
279.2
280.2
281.2
282.1
283.2
284.2
285.2
286.1
287.2
288.1
289.2
290.2
291.1
292.2
293.1
294.2
295.1
296.1
297.1
298.2
299.1
300.2
301.0
302.1
303.1
304.2
305.1
306.1
307.1
308.2
309.2
310.3
311.2
312.2
313.2
314.2
315.2
316.1
317.2
318.1
319.1
320.1
321.2
322.1
323.2
324.1
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335.2
336.2
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341.2
342.2
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348.2
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351.0
352.1
353.1
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372.1
373.1
374.1
375.1
376.0
377.2
378.1
379.2
380.2
381.2
382.1
383.3
384.2
385.2
386.2
387.2
388.1
389.2
390.1
391.2
392.2
393.1
394.1
395.1
396.1
397.2
398.1
399.1
400.1
401.0
402.1
403.3
404.2
405.2
406.2
407.1
408.2
409.2
410.2
411.1
412.2
413.1
414.2
415.2
416.2
417.1
418.1
419.1
420.1
421.1
422.2
423.1
424.1
425.1
426.0
427.2
428.3
429.2
430.2
431.2
432.1
433.3
434.2
435.2
436.2
437.1
438.2
439.2
440.1
441.2
442.2
443.1
444.2
445.1
446.1
447.2
448.2
449.1
450.1
451.0
452.1
453.1
454.2
455.1
456.1
457.2
458.3
459.2
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462.1
463.1
464.2
465.2
466.2
467.2
468.1
469.1
470.1
471.2
472.2
473.1
474.1
475.1
476.0
477.2
478.1
479.1
480.1
481.2
482.1
483.3
484.2
485.2
486.2
487.2
488.1
489.2
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491.1
492.2
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494.1
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532.1
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539.2
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547.2
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549.1
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554.2
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562.1
563.2
564.2
565.1
566.2
567.1
568.1
569.2
570.1
571.1
572.2
573.1
574.1
575.1
576.0
Win:288 Total:576 Probability:50%
END
浙公网安备 33010602011771号