【高中数学/导数/数列】(大连24中27届高三首考#19) 材料1:在现行的《数学分析》教材中,对初等函数给出了确切的定义,即由常数和基本初等函数有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的,且在定义域上能用一个式子表示的函数如函数f(x)=(1+x)^1/x(x>0),我们可以做变形:f(x)=(1+x)^1/x=(e^ln(1+x))^1/x=e^((ln(1+x))/x)=e^t(......

【问题】

(大连24中27届高三首考#19)
材料1:在现行的《数学分析》教材中,对初等函数给出了确切的定义,即由常数和基本初等函数有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的,且在定义域上能用一个式子表示的函数如函数f(x)=(1+x)^1/x(x>0),我们可以做变形:f(x)=(1+x)^1/x=(e^ln(1+x))^1/x=e^((ln(1+x))/x)=e^t(t=(ln(x+1))/x),所以函数f(x)可以看作y=e^t和t=(ln(x+1))/x复合而成的,即f(x)=(1+x)^1/x(x>0)为初等函数
材料2:对于几个正数a1,a2,..,a3,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即 (a1+a2+...+an)/n>(a1*a2...*an)^1/n
结合材料:
(1)直接写出f(x)的单调性;
(2)方程f(x)=e^(k(x+1)/x)有两个解x1,x2,证明x1*x2>1
(3)令Sn=1十1/2+1/3+...+1/n,证明:n*f(n)≤n+Sn

【答案】

(1)单调减;
(2)略
(3)略

【解答】

End