【高中数学/排列组合】如何确定(x+y+z)^11的展开式有多少项?

【等差数列思路】

这个问题乍一看不好解决，实际是等差数列的求和问题。

以某项Ax2y^6z^3为例，可以发现xyz的指数部分和是定值11；若x的指数是2，则y和z的指数和是11-2=9。

又以一项Bx8y^2z^1为例，可以发现y的指数受x的指数限制，当x的指数大时，y可取的范围就小；当x的指数小是，y的指数可取的范围就大；至于z的指数，直接等于11减去前两项的指数。

所以当x的指数为0时，y的指数有12种选择（0~11），z是被动跟y的指数跑的，整体就是12种选择；

x的指数为1时，y的指数有11种选择；

x的指数为2时，有的指数有10种选择；

x的指数为n时，y的指数有11-n+1种选择；

......

x的指数为11时，y的指数有1种选择，那就是0，同时z的指数也是0；

其总和Sum=12+10+9+......+1=12*(1+12)/2=6*13=78项。

 

【球入盒思路】

另有一种说法是说组合数C_13_2也得78，可以这样理解：

明显，每个展开式中，x,y,z的指数和为11，设x的指数为a，y的指数为b，z的指数为c

该问题便转化为a+b+c=11的非负整数解个数。

要知道解个数，除了上面提到的等差数列法之外，还可用球盒法，问题可看作：将11个球放入3个有区分(盒上标有xyz)的盒里，盒里允许空，有几种放法？

要得到解的个数，可以在11个球旁放3个盒，在中间的空隙中插入两隔板，如下：

⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⬜⬜⬜

随机插入两隔板后是这样：

⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪⚪|⚪⬜|⬜⬜

这代表第一个盒放10个球(a=10)，第二个盒放1个球(b=1)，第三个盒放0个球(c=0)

在以上形成的13个空隙里插入两个板的数目是C(13,2)=13*12/2/1=13*6=78种。

至此，可以归纳，将n个球放入m个有标识的盒子里，盒里允许空，得到的组合数是C(n+m-1,m-1)种。

【程序思路一】

把y的指数求和，结果就是项数，用一重循环就能解决问题。

代码：

        int sum=0;
        
        for(int x=0;x<12;x++) {
            int y=11-x+1;
            sum+=y;
        }
        
        System.out.println("sum="+sum);

输出：

sum=78

 

【程序思路二】

若要输出每一项xyz的指数是几，那么就得用多重循环了。

代码：

        int idx=0;
        
        for(int i=0;i<12;i++) {
            for(int j=0;j<12;j++) {
                for(int k=0;k<12;k++) {
                    if((i+j+k)==11) {
                        String s=String.format("%2d:x^%dy^%dz^%d", ++idx,i,j,k);
                        System.out.println(s);
                    }
                }
            }
        }

输出：

 1:x^0y^0z^11
 2:x^0y^1z^10
 3:x^0y^2z^9
 4:x^0y^3z^8
 5:x^0y^4z^7
 6:x^0y^5z^6
 7:x^0y^6z^5
 8:x^0y^7z^4
 9:x^0y^8z^3
10:x^0y^9z^2
11:x^0y^10z^1
12:x^0y^11z^0
13:x^1y^0z^10
14:x^1y^1z^9
15:x^1y^2z^8
16:x^1y^3z^7
17:x^1y^4z^6
18:x^1y^5z^5
19:x^1y^6z^4
20:x^1y^7z^3
21:x^1y^8z^2
22:x^1y^9z^1
23:x^1y^10z^0
24:x^2y^0z^9
25:x^2y^1z^8
26:x^2y^2z^7
27:x^2y^3z^6
28:x^2y^4z^5
29:x^2y^5z^4
30:x^2y^6z^3
31:x^2y^7z^2
32:x^2y^8z^1
33:x^2y^9z^0
34:x^3y^0z^8
35:x^3y^1z^7
36:x^3y^2z^6
37:x^3y^3z^5
38:x^3y^4z^4
39:x^3y^5z^3
40:x^3y^6z^2
41:x^3y^7z^1
42:x^3y^8z^0
43:x^4y^0z^7
44:x^4y^1z^6
45:x^4y^2z^5
46:x^4y^3z^4
47:x^4y^4z^3
48:x^4y^5z^2
49:x^4y^6z^1
50:x^4y^7z^0
51:x^5y^0z^6
52:x^5y^1z^5
53:x^5y^2z^4
54:x^5y^3z^3
55:x^5y^4z^2
56:x^5y^5z^1
57:x^5y^6z^0
58:x^6y^0z^5
59:x^6y^1z^4
60:x^6y^2z^3
61:x^6y^3z^2
62:x^6y^4z^1
63:x^6y^5z^0
64:x^7y^0z^4
65:x^7y^1z^3
66:x^7y^2z^2
67:x^7y^3z^1
68:x^7y^4z^0
69:x^8y^0z^3
70:x^8y^1z^2
71:x^8y^2z^1
72:x^8y^3z^0
73:x^9y^0z^2
74:x^9y^1z^1
75:x^9y^2z^0
76:x^10y^0z^1
77:x^10y^1z^0
78:x^11y^0z^0

 END