【高中数学/立体几何】（2026年1月14日大连二十四中高二上数学期末卷第18题）在四棱锥P-ABCD中，AB=根号三，AD=AC=3,∠ABC=90°，∠BAD=150°，且PA⊥平面ABCD，过点A的平面α与侧棱PB、PC、PD分别交于E、F、G，且四边形AEFG为菱形。 (1)求证：AD⊥平面PAC； (2)求线段PA的长； (3)求平面AEFG与平面ABCD所成角的余弦值。

【问题】

18.在四棱锥P-ABCD中，AB=根号三，AD=AC=3,∠ABC=90°，∠BAD=150°，且PA⊥平面ABCD，过点A的平面α与侧棱PB、PC、PD分别交于E、F、G，且四边形AEFG为菱形。

(1)求证：AD⊥平面PAC；

(2)求线段PA的长；

(3)求平面AEFG与平面ABCD所成角的余弦值。

【答案】

PA=二分之根号六；余弦值=根号六*2/9

【出处】

2026年1月14日大连二十四中高二上数学期末卷 第18题 17分

【解答】

【点评】

第一问是送分；第二问充分展示了向量在立体几何中无可替代的重要性；做出第二问可顺推第三问。

该题难度全在第二问上，建系后计算量大耗时多，对考生的认真细致程度是个真正的考察。

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