【高中数学/排列组合】由字母AB构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有多少个？

【问题】

由字母AB构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有多少个

【答案】

27个，具体如下：

1.BBBABA
2.BBABAB
3.BBABAA
4.BBAABA
5.BABABB
6.BABABA
7.BABAAB
8.BABAAA
9.BAABAB
10.BAABAA
11.BAAABA
12.ABBABA
13.ABABBB
14.ABABBA
15.ABABAB
16.ABABAA
17.ABAABB
18.ABAABA
19.ABAAAB
20.ABAAAA
21.AABABB
22.AABABA
23.AABAAB
24.AABAAA
25.AAABAB
26.AAABAA
27.AAAABA

【解答】

这个问题先考虑总数，六个位置，每个位置两种选择，总共是2的6次方共64种选择；

这六十四种里，以ABA***为模式的有8种，*ABA**为模式的也有8种，**ABA*为模式的也有8种，***ABA为模式的还有8种，故总数不超过4*8=32种；

这三十二种里存在重复，如ABAABA可以出现在ABA***模式中，也可以出现在***ABA模式中，故总数小于31种；

如何再清除重复，我目前想到的办法是：把0~63的数字用二进制方式写出来，以1为A，以0为B，然后查看101出现的次数，下了一番笨功夫后，发现是27种。

为确保无误，我特地用程序跑了一遍，发现确实是27种！用Java编制的程序如下：

【程序】

package test260101;

import java.util.Set;
import java.util.TreeSet;

/**
 * 由字母AB构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有多少个?
 * @author 逆火
 *
 */
public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        Set<String> set = new TreeSet<>();// 用于清除重复
                
        for(int i=0;i<64;i++) {// 六位，每位两种选择，共64种
            String binaryString = Integer.toBinaryString(i);// 0~63转二进制数
            
            int n=6-binaryString.length();// 不足六位前补零
            for(int j=0;j<n;j++) {
                binaryString="0"+binaryString;
            }
            
            if(binaryString.contains("101")) {// 含有101即ABA的放入集合
                set.add(binaryString);
            }
        }
        
        int sn=0;
        for(String str:set) {
            str=str.replace("1", "A");// 以A替1
            str=str.replace("0", "B");// 以B替0
            System.out.println((++sn)+"."+str);// 输出序号及序列
        }
    }
}

【程序输出】

1.BBBABA
2.BBABAB
3.BBABAA
4.BBAABA
5.BABABB
6.BABABA
7.BABAAB
8.BABAAA
9.BAABAB
10.BAABAA
11.BAAABA
12.ABBABA
13.ABABBB
14.ABABBA
15.ABABAB
16.ABABAA
17.ABAABB
18.ABAABA
19.ABAAAB
20.ABAAAA
21.AABABB
22.AABABA
23.AABAAB
24.AABAAA
25.AAABAB
26.AAABAA
27.AAAABA

【点评】

没找到好办法，硬列举发现是27种，但作业帮扫出来说是18种，不放心又来了一遍发现还是27种；

最后用程序跑出来发现确实是27种，作业帮可以去死了！

END