【高中数学/双曲线/椭圆】(辽宁实验中学#19)双曲线H：x^2/4-y^2/3=1中垂直于实轴的动弦MN，A1,A2为双曲线之两顶点，直线NA1与MA2交点的轨迹为椭圆C。（1）求椭圆C的方程；（2）P(x0,y0)且（x0≠0，y0≠0）为椭圆C上一点，EF为椭圆的两动点，直线PE的斜率和PF的斜率互为相反数，P关于x轴的对称点为P1，Q为EF中点，O为坐标原点，试证明：O、Q、P三点共线。

【问题】

#19.双曲线H：x^2/4-y^2/3=1中垂直于实轴的动弦MN，A1,A2为双曲线之两顶点，直线NA1与MA2交点的轨迹为椭圆C。（1）求椭圆C的方程；（2）P(x0,y0)且（x0≠0，y0≠0）为椭圆C上一点，EF为椭圆的两动点，直线PE的斜率和PF的斜率互为相反数，P关于x轴的对称点为P1，Q为EF中点，O为坐标原点，试证明：O、Q、P三点共线。

【答案】

（1）x^2/4+y^2/3=1

（2）见后

【出处】

辽宁省实验中学2024-2025上学期期末考试高二年级数学科试卷第19题，压轴大题，17分

【解答】

【点评】

计算量稍大，需要仔细，稍需变通。

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