【高中数学/排列组合】将1，2，3，4，5，6，7，8这八个数排一排，则相邻数字互质的排法有多少种？

【问题】

将1，2，3，4，5，6，7，8这八个数排一排，则相邻数字互质的排法有多少种？

【答案】

1728

【解答】

这种问题有信服力的解法是排除法。

首先把1，3，5，7进行全排列是A(4,4），再让2，4，6，8四个数去插1357中间及左右的5个空是A(5,4)种，故总的排法就是A(4,4)*A(5,4);

需要排除的情况是6出现在3的左右，如1_3_6_5_7或1_6_3_5_7，这时可供2，4，8插的空就剩下4个，故需要排除的就是A(4,4)*2*A(4,3);

故结果是A(4,4)*A(5,4)-A(4,4)*2*A(4,3)=A(4,4)*[5*4*3*2-2*4*3*2]=A(4,4)*[3*4*3*2]=24*3*24=576*3=1728.

故将1，2，3，4，5，6，7，8这八个数排一排，则相邻数字互质的排法有1728种。

【点评】

互质排列能凑出答案但不讲道理或是讲不出道理的解法不少，但最有信服力的是排除法。

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