【高考数学/对数/导数】(2022全国新高考II卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线方程是？

【问题】

曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线方程是_____,_______.

【答案】

x-ey=0;x+ey=0.

【出处】

2022全国新高考II卷第14题，填空题，五分。

【解答】

1

2

3

【配图】

1

【绘制图像的Canvas代码】

<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
     <title>UNASSIGNED</title>
     <style type="text/css">
     .centerlize{
        margin:0 auto;
        border:0px solid red;
        width:1200px;height:600px;
     }
     </style>
     </head>

     <body onload="draw();">
        <div class="centerlize">
            <canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">
                如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.
            </canvas>
        </div>
     </body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件，
* 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。
******************************************************************/

// 系统常量定义处
const TITLE="y=ln|x|的过原点两切线";   // 图像标题
const WIDTH=1200;                    // 画布宽度
const HEIGHT=600;                    // 画布高度
const SCALE_UNIT=50;                // 缩放比例 25对应x∈[-24,24],100对应x∈[-6,6]

// 系统变量定义处
var context=0;                        // 画布环境
var stage;                            // 舞台对象
var timeElapsed=0;                    // 动画运作的的时间
const TIME_END=100000;                // 动画运作的期限

//-------------------------------
// Canvas开始运作，由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){
    document.title=TITLE;

    // 画图前初始化
    var canvas=document.getElementById('myCanvas');    
    canvas.width=WIDTH;
    canvas.height=HEIGHT; 
    context=canvas.getContext('2d');  
    
    // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换
    // 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向
    // 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向
    context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);
    context.rotate(Math.PI);
    context.scale(-1,1);

    // 初始化舞台
    stage=new Stage();

    // 开始动画
    animate();
};

//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){    
    timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1

    stage.update(timeElapsed);
    stage.paintBg(context);
    stage.paint(context);

    if(timeElapsed<TIME_END){        
        window.requestAnimationFrame(animate);
    }
}

//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){
    // 内置对象(非必要勿更改)
    var obj=new Object;

    // 对象下的曲线数组(非必要勿更改)
    obj.curves=[];

    // 塞入曲线1(按需修改设定项)
    obj.curves.push({
        name:"曲线:y=ln|x|",
        xEnd:6,
        x:-6,
        y:0,
        setY:function(x){
            this.y=Math.log(Math.abs(x));// 解析式

            let coord={"x":x,"y":this.y};    
            
            this.pts0.push(coord);
        },
        "pts0":[],
    });

    // 塞入曲线2(按需修改设定项)
    obj.curves.push({
        name:"曲线:y=x/e",
        xEnd:6,
        x:0,
        y:0,
        setY:function(x){
            this.y=x/Math.E;// 解析式

            let coord={"x":x,"y":this.y};    
            
            this.pts0.push(coord);
        },
        "pts0":[],
    });    

    // 塞入曲线3(按需修改设定项)
    obj.curves.push({
        name:"曲线:y=-x/e",
        xEnd:0,
        x:-6,
        y:0,
        setY:function(x){
            this.y=-x/Math.E;// 解析式

            let coord={"x":x,"y":this.y};    
            
            this.pts0.push(coord);
        },
        "pts0":[],
    });    
                                                        
    // 随时间更新位置(非必要勿更改)
    obj.update=function(t){
        for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
            var curve=this.curves[i];

            if(curve.x<curve.xEnd){
                curve.x+=0.01;
                curve.setY(curve.x);
            }
        }
    };

    // 画前景
    obj.paint=function(ctx){  
        // 手动标记点或线
        var a=createPt(Math.E,1);
        var b=createPt(-Math.E,1);
        paintPoint(ctx,a.x,a.y,"A","blue");
        paintPoint(ctx,b.x,b.y,"B","blue");
        //paintLine(ctx,a.x,a.y,b.x,b.y,"red");

        // 文字左上角位置(可手动修改设定值)
        const X_START=-400;    // 文字横起点
        const Y_START=200;    // 文字纵起点
        const OFFSET=50;    // 文字间隔

        // 遍历曲线数组(非必要勿更改)
        for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
            var curve=this.curves[i];// 曲线对象
            var color;// 曲线及文字说明颜色
            if(curve.color){
                color=curve.color;
            }else{
                color=getColor(i);
            }

            // 曲线名称
            drawText(ctx,curve.name,X_START,Y_START-i*OFFSET,color,18);
            // 曲线当前点坐标
            drawText(ctx,"当前 X:"+curve.x.toFixed(3)+"  Y:"+curve.y.toFixed(3),X_START,Y_START-20-(i)*OFFSET,color,18);
            
            // 绘制曲线
            if(curve.pts0){
                paintCurve(ctx,color,curve.pts0);
                
                // 绘制曲线分段1的高低点(可选)
                var mm=findMaxMin(curve.pts0);
                //markMaxMin(ctx,mm,color);
            }
            if(curve.pts1){
                paintCurve(ctx,color,curve.pts1);
                // 绘制曲线分段2的高低点(可选)
                //var mm=findMaxMin(curve.pts1);
                //markMaxMin(ctx,mm,color);
            }
            if(curve.pts2){
                paintCurve(ctx,color,curve.pts2);
                // 绘制曲线分段3的高低点(可选)
                //var mm=findMaxMin(curve.pts2);
                //markMaxMin(ctx,mm,color);
            }
            if(curve.pts3){
                paintCurve(ctx,color,curve.pts3);
                // 绘制曲线分段4的高低点(可选)
                //var mm=findMaxMin(curve.pts3);
                //markMaxMin(ctx,mm,color);
            }
            if(curve.pts4){
                paintCurve(ctx,color,curve.pts4);
                // 绘制曲线分段4的高低点(可选)
                //var mm=findMaxMin(curve.pts3);
                //markMaxMin(ctx,mm,color);
            }
        }
    };

    // 画背景(非必要不更改)
    obj.paintBg=function(ctx){
        // 清屏
        ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);
        ctx.fillStyle="rgb(251,255,253)";
        ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);

        // 画X轴
        drawAxisX(ctx,-600,600,50);

        // 画Y轴
        drawAxisY(ctx,-300,300,50);

        // 画网格线
        drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50);
        
        // 左上角标题
        var metrics = ctx.measureText(TITLE);
        var textWidth = metrics.width;
        drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth+3,HEIGHT/2-30,"grey",18);

        // 右下角作者，日期
        const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();
        metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);
        textWidth = metrics.width;
        drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);
    };
    
    return obj;
}

// 描绘并标识一个点(对外函数)
function paintLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
    var startx=x1*SCALE_UNIT;
    var starty=y1*SCALE_UNIT;
    var endx=x2*SCALE_UNIT;
    var endy=y2*SCALE_UNIT;

    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.lineWidth=0.5;

    // 画线
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(startx,starty);
    ctx.lineTo(endx,endy);
    ctx.closePath();    
    ctx.stroke();
}

// 描绘并标识一个点(对外函数)
function paintPoint(ctx,x,y,text,color){
    var xReal=x*SCALE_UNIT;
    var yReal=y*SCALE_UNIT;

    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.lineWidth=0.5;

    // 纵横位置点划线，可人为选择
    /*ctx.save();
    ctx.setLineDash([5,5]);
    ctx.beginPath();    
    ctx.moveTo(xReal,0);
    ctx.lineTo(xReal,yReal);
    ctx.lineTo(0,yReal);
    ctx.stroke();
    ctx.restore();*/

    // 画圈
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(xReal,yReal,4,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();    
    ctx.stroke();

    // 写文字
    var metrics = ctx.measureText(text);
    var textWidth = metrics.width;
    drawText(ctx,text,xReal+textWidth+2,yReal-5,color,12);
}

// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){
    ctx.save();
    ctx.strokeStyle = color;
    ctx.lineWidth=1;

    ctx.beginPath();     
    for(var i=0; i<cds.length; i++){
        let y=cds[i].y;
        if(Math.abs(cds[i].y*SCALE_UNIT)<300){
            ctx.lineTo(cds[i].x*SCALE_UNIT,cds[i].y*SCALE_UNIT);
        }
    }     
    ctx.stroke();  
    ctx.restore();
}

// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){
    if(cds.length<1){
        return null;
    }

    var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};

    for(var i=0;i<cds.length;i++){
        var y=cds[i].y;

        if(y>retval.max){
            retval.max=y;
            retval.max_x=cds[i].x;
        }

        if(y<retval.min){
            retval.min=y;
            retval.min_x=cds[i].x;
        }
    } 

    return retval;
}

// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){
    if(mm==null){
        return;
    }

    // 最大值
    var x=mm.max_x;
    var y=mm.max;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.stroke();
    var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
    drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);

    // 最小值
    var x=mm.min_x;
    var y=mm.min;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.stroke();
    var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
    drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);
}

// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){
    ctx.save();
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);
    ctx.fillStyle=color;
    ctx.fill();
    ctx.restore();
}

// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
    ctx.save();
    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle=color;

    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(x1,y1);
    ctx.lineTo(x2,y2);    
    ctx.closePath();
    ctx.stroke();
    ctx.restore();
}

// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){
    ctx.save();

    const AXISY_COLOR="black";
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(start, 0);
    ctx.lineTo(end, 0);    
    ctx.closePath();
    ctx.stroke();

    // 画箭头
    ctx.fillStyle=AXISY_COLOR;
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*12, Math.sin(getRad(15))*12);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*12, -Math.sin(getRad(15))*12);
    ctx.lineTo(end-6, 0);
    ctx.closePath();
    ctx.fill();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    y=5;
    for(x=start;x<end;x+=step){
        if(x==0){
            continue;
        }

        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, 0);
        ctx.lineTo(x, y);       
        ctx.closePath();
        ctx.stroke();

        var text=formatScale(x/SCALE_UNIT);
        drawText(ctx,text,x,y-20,AXISY_COLOR,12);
    }

    ctx.restore();
}

// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){
    ctx.save();

    const AXISY_COLOR="black";    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(0, start);
    ctx.lineTo(0, end);   
    ctx.closePath();
    ctx.stroke();

    // 画箭头
    ctx.fillStyle=AXISY_COLOR;
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*12, end-Math.cos(getRad(15))*12);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*12, end-Math.cos(getRad(15))*12);
    ctx.lineTo(0, end-6);
    ctx.closePath();
    ctx.fill();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    x=5;
    for(y=start;y<end;y+=step){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y);
        ctx.lineTo(0, y);        
        ctx.closePath();
        ctx.stroke();

        var text=formatScale(y/SCALE_UNIT);
        var metrics = ctx.measureText(text);
        var textWidth = metrics.width;
        drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12);
    }

    ctx.restore();
}

//-------------------------------
// 得到整型后的刻度
//-------------------------------
function formatScale(scale){
    var s=scale*10;
    if(s % 5==0){
        return scale+"";
    }else{
        return scale.toFixed(2);
    }
}

// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle="lightgrey";    

    // 分十格
    var x,y;
    for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y1);
        ctx.lineTo(x, y2);        
        ctx.closePath();
        ctx.stroke();
    }

    for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x1, y);
        ctx.lineTo(x2, y);        
        ctx.closePath();
        ctx.stroke();
    }

    // 十小格间的分割线
    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle="grey";
    ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线,起止点间包含五空格五划线共十段

    for(x=x1;x<x2;x+=step1){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y1);
        ctx.lineTo(x, y2);
        ctx.stroke();
    }

    for(y=y1;y<y2;y+=step2){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x1, y);
        ctx.lineTo(x2, y);
        ctx.stroke();
    }

    ctx.restore();
}

//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){
    return degree/180*Math.PI;
}

//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){
    var arr=[
        "maroon" /* 栗色 */,
        "orange" /* 橙色 */,
        "blue"   /* 蓝色 */,
        "green"  /* 绿色 */,       
        "fuchsia"/* 紫红 */,        
        "grey"   /* 灰色 */,
        "lime"   /* 酸橙 */,        
        "navy"   /* 海蓝 */,        
        "purple" /* 紫色 */,
        "skyblue"/* 天蓝 */,
        "teal"   /* 蓝绿 */,
        "yellow" /* 亮黄 */,
        "aqua"   /* 湖绿 */,
        "red"    /* 红色 */,        
        "black"  /* 黑色 */,    
    ];

    return arr[index % arr.length];
}

//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){
    ctx.save();
    ctx.translate(x,y)
    ctx.rotate(getRad(180))
    ctx.scale(-1,1)

    ctx.textBaseline="bottom";
    ctx.textAlign="center";
    ctx.fillStyle=color;
    ctx.font = size+"px consolas";

    ctx.fillText(text,0,0);
    ctx.restore();
}

// JS开立方
function kaiLiFang(x){
    if(x>0){
        return Math.pow(x,1/3);
    }else{
        return -Math.pow(-x,1/3);
    }
}

// JS求阶乘
function factorial(n) {
  let result = 1;
  for (let i = 2; i <= n; i++) {
    result *= i;
  }
  return result;
}

/*----------------------------------------------------------
基础函数:用于绘制矩形
ctx:绘图上下文
x:矩形中心横坐标
y:矩形中心纵坐标
width:矩形宽
height:矩形高
----------------------------------------------------------*/
function drawRect(ctx,x,y,width,height){
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(x-width/2,y-height/2);
    ctx.lineTo(x+width/2,y-height/2);
    ctx.lineTo(x+width/2,y+height/2);
    ctx.lineTo(x-width/2,y+height/2);
    ctx.closePath();
}

/*----------------------------------------------------------
基础函数:用于绘制实心圆
ctx:绘图上下文
x:矩形中心横坐标
y:矩形中心纵坐标
r:圆半径
style:填充圆的方案
----------------------------------------------------------*/
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,style){
    ctx.fillStyle=style;
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x,y,r,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.fill();
}

/*----------------------------------------------------------
基础函数:创建一个二维坐标点
base:基准点,入参必需有x和y两参数
radius:当前点到基准点的距离
theta:当前点到基准点的角度
Pt即Point
----------------------------------------------------------*/
function createPt3(base,radius,theta){
    var retval={};
    retval.x=base.x+radius*Math.cos(theta);
    retval.y=base.y+radius*Math.sin(theta);
    return retval;
}

/*----------------------------------------------------------
基础函数:创建一个二维坐标点
baseX:基准点横坐标
baseY:基准点纵坐标
radius:当前点到基准点的距离
theta:当前点到基准点的角度
Pt即Point
----------------------------------------------------------*/
function createPt2(baseX,baseY,radius,theta){
    var retval={};
    retval.x=baseX+radius*Math.cos(theta);
    retval.y=baseY+radius*Math.sin(theta);
    return retval;
}

/*----------------------------------------------------------
基础函数:创建一个二维坐标点
x:横坐标
y:纵坐标
Pt即Point
----------------------------------------------------------*/
function createPt(x,y){
    var retval={};
    retval.x=x;
    retval.y=y;
    return retval;
}

/*----------------------------------------------------------
基础函数:延时若干毫秒
milliseconds:毫秒数
----------------------------------------------------------*/
function sleep(milliSeconds) {
    const date = Date.now();
    let currDate = null;
    while (currDate - date < milliSeconds) {
        currDate = Date.now();
    } 
}

/*----------------------------------------------------------
基础函数:书写文字
ctx:绘图上下文
x:横坐标
y:纵坐标
text:文字
font:字体
color:颜色
----------------------------------------------------------*/
function writeText(ctx,x,y,text,font,color){
    ctx.save();
    ctx.textBaseline="bottom";
    ctx.textAlign="center";
    ctx.font = font;
    ctx.fillStyle=color;
    ctx.fillText(text,x,y);
    ctx.restore();
}
//-->
/**********************************************
庄子最了不起的是，在人生痛苦的基础上，完成了两次转向，两个升华。因为人生不值得，就没有必要附加任何人为的东西，伦理、知识、是非标准、有用无用的判定、对民众的训导治理......所有这些都是人为的，只会带来痛苦，损害先天、自然的人之本性。比如，你说有用无用，它的标准就是人为的，一棵树长得高、直、壮，它应该算有用了，但这种有用是指它适合做家具，做房梁，是工具论意义的，不是生存论意义的，在生存论意义上，树长得歪瓜裂枣才利于它生存。想要消除痛苦，或者至少不增添痛苦，必须抛弃那些人为的东西，顺应自然，回到原始、本真的状态，“绝圣弃知，而天下大治。”（《庄子·在宥》）于是，庄子完成了第一个观念升华：从人生痛苦、人生不值得，看到顺应自然、回归自然的意义和必要性。又因为人生如此痛苦、绝望，你也就对人生、对这个世界不需存在任何依赖，不再抱有任何幻想和期待，没有了依赖、幻想和期待，你也就可能真正放飞自己，自由自在存在于自然、天地之间，“逍遥于天地之间，而心意自得”（《庄子·让王》）

作者：莫也
链接：https://www.zhihu.com/question/433226615/answer/70381222528
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
**********************************************/
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【点评】

送分题。

END

posted @ 2020-03-02 12:48  逆火狂飙  阅读(144)  评论(0)    收藏  举报