【高中数学/解析几何】ZT：高中数学解析几何圆锥曲线大题真的是硬解就能解出吗？

【问题】

高中数学解析几何圆锥曲线大题真的是硬解就能解出吗？

 

【回答一】

“解析几何”这四个字可以分为两部分，“解析”和“几何”。这两部分相辅相成，缺一不可。
根据我自己的经验，解析几何题一般第一问是求曲线解析式，是送分题。二三问难度加大，有动点与定点围成面积最值，有探究直线位置关系，有判断过定点，等等。

你要做的，是迅速抓住题中曲线的“几何”特征：焦点，顶点，长短轴（椭圆），实虚轴（双曲线）。一般题目确定这些基本就能把曲线特征确定了，一些比较高级的可能还需要准线之类的，这个稍后再说。做到上述要求，第一问分基本拿下。二三问，关注题干，是什么引发了曲线图形的变化？其变化的规律又是什么？如果你几何功底很好，这些东西一眼盯出来不是不可能；但如果没那么好，就要请出第二部分：“解析”。

解析，就是将图中的点用有序数对表示，曲线用方程来表示。这既是概念，又是这类题的底层逻辑。在初期，你可以坚定一个信念：只要我能把题中所有量都表示出来，这道题我肯定能解。由此，我们衍生出解析几何第一个重要工具：“硬解定理”。它的作用是快速算出所需量。如需要算有关距离、面积等问题，而需要将直线与椭圆（双曲线、抛物线同理）联立时，l：ax＋by＋c＝0C：（x/a）²＋（y/b）²＝1正常联立后非常麻烦。但硬解定理可以让你提前知道所需量（如x1＋x2，x1·x2等）的表达式，从而加快解题过程，同时防止联立错误。由于笔者本人很懒，所以硬解定理的公式没怎么背。但根据我使用的经历来说，这个东西确实很好用，就是千万注意别背错公式了（血与泪的教训）。

现在你已经能解答大部分的题型了，有了加快答题速度的追求，那么我们再介绍一个快速解题的技巧：参数方程。例如，椭圆（x/a）²＋（y/b）²＝1的参数方程是x＝acosθ，y＝bsinθ（θ为参数）。它主要在最值问题中使用，将繁琐的求最值过程简化为三角函数问题，大大简化过程。

最后，也是最重要的，定点定直线问题。这里强推你学习一下有关射影几何的知识，解析几何得难题出题背景大多数与射影几何有关。而定点定直线问题则是射影几何中的极点极线问题。这个在知乎上有很多大神讲过，这里不再班门弄斧，

最后就是多练，虽然新高考形式下题海战术不可取，但不意味着不刷题，必要的练习是通往熟练的必然之路。最后祝你学习成绩提升，考试顺利！

作者：天玑
链接：https://www.zhihu.com/question/1911489080685999677/answer/1911534949024110447
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 【回答二】

先说一个结论：绝大部分高中圆锥曲线大题可以硬解出来。

但我还是和你说点一般人不会强调的东西吧。

高中数学，考察的不单纯是你能不能解出来，而是考察你能不能在一个限定时间内解出来，比如圆锥曲线大题，20分钟通常已经是极限了，如果你花更多时间做圆锥曲线，就意味着其他题目所用的时间要缩减，如果你花40分钟解圆锥曲线，一般就要扔一道大题了。所以关于硬解能不能解出来这个问题是没意义的，只要你在20分钟解不出，那就等于根本解不出，硬解的问题就在于，你的计算力通常不足以支撑你在短时间内解出来。

作者：奕铭
链接：https://www.zhihu.com/question/347025945/answer/859881398
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 【回答三】

楼里的回答说什么拿满分的真的把我整笑了，看看2012年江苏高考的第19大题解析几何，那一题在当时就是我们下一届（13届）的噩梦，能想出各种所谓巧妙的解法，比如参数方程，实际上都是事后诸葛亮。

ps：当时这一题好像全省没什么人做出来了，当年全省第一数学184分毛宇航（08改革以来最低，10年葛军出的江苏卷号称怎么怎么难，最高分依然有190多），这一题的最后一问直接跳过没做（10分）。

作者：知乎用户93P1v5
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【回答4】

数学老师来说说吧。

硬解这个说法，永远不合理的。我想你同学们说的是联立之后，运用韦达定理。这是80%的同学学习圆锥曲线到最后必用的办法，反正不知道怎么办了，遇到就联立，然后就猛算，然后解着解着可能出现个转机，这个题目就得出答案了。这个办法。。。。。真的很无力。完全是一种听天由命的感觉，很多同学就总结为。。。硬解。至少解下去还有点希望。

其实，圆锥曲线大题的难点在于它与以往知识点的结合。而这种结合非常隐秘，藏在题目的每一个条件里。可能是用到正余弦定理，可能是用到三角形的相似或全等，可能是用到向量，这些都需要系统的总结，然后你在读题的时候就可以发现里面的玄机，解题思路基本就成型了。在这个基础上，才能说只要硬解，硬算下去就可以了。因为真的只剩下计算问题了。

所以圆锥曲线的学习要总结好从题目里如何找到与以往知识的结合，形成整套或者至少70%的思路，然后才是所谓的硬解。前面的准备工作才是最重要的。

作者：人大学姐Sophia
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【回答5】

 

作者：奶牛小雪球
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先说看法：用爆算的方法解决一道几何题目是一种十分丑陋的做法。一定要记得一句名言：思维方法决定计算量！

试卷上又没有说那道题目就叫“解析几何”，事实上，多观察一下题目的几何结构，多使用一些平面几何、射影几何的思维，能极大减少计算量。

@杨树森的回答中提到的例子就是这样一种正确的做法，符合数学的结构之美。

 

多掌握一些圆锥曲线的平面几何性质很重要，尤其是抛物线，很多有关抛物线的题目纯平几方法就能解决，根本不用复杂计算。圆锥曲线的光学性质也是可以极大减小计算量的方法。

就算想要用纯解析的方法做，也不要只盯着什么韦达定理，那个基本上是最基础也是最麻烦的方法。掌握一些诸如极点极线、调和点列、圆锥曲线系这样的东西，可以大大减少解析的计算过程。

这里就不展开讲解了，内容太多，推荐一些书给题主吧：

清华大学的《高考数学你真的掌握了吗？》

《数学那玩意儿》

这几本书对于提升思维水平，帮助你远离复杂的计算是很有帮助的，学有余力建议阅读一下。你的圆曲水平会暴涨。

高考圆锥曲线的几何结构是很简单的，基本上万变不离其宗就拿几个，相比于数学竞赛二试那个平几，难度小太多了。一定要关注学习圆锥曲线的几何结构和一些除了韦达之外的解析方法。高考时间很紧，千万别让自己一通爆算算到失去头发。

P.S.物理上其实也是一样，充满了爆算遗毒…就比如原子物理里面卢瑟福散射公式的推导，市面上大多数教材和文献都是拿着微积分一通爆算，明明只要利用双曲线的几何性质纯初等的方式几步就推导出来了，非要积来积去看着头大…这种方法一点也不仙女…心好累…

 

<未完待续>