【高中数学之复数】已知复数z的辐角为60°，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项，求|z|?(2003高考数学全国卷，解答题首题，总第17题)

【问题】

已知复数z的辐角为60°，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项，求|z|?

【来源】

2003高考数学全国卷，解答题首题，总第17题。

【解答】

解：

由复数辐长辐角定义有 z=r*(Cos60°+iSin60°)

据等比中项定义有：|z-|*|z-1|=|z|*|z-2|,即|z^2-2*z+1|=|z^2-2z|

设z^2-2*z=x+yi,代入上式有：

|x+1+iy|=|x+iy|

故(x+1)^2+y^2=x^2+y^2

即2x+1=0

故x=-0.5

至此，z^2-2*z=-0.5+iy

将z=r*(Cos60°+iSin60°)代入得

r^2*(Cos120°+iSin120°)-2*r*(Cos60°+iSin60°)=-0.5+yi

展开后让实部相等得r^2+2*r=1

解得r1=根号2-1，r2=-根号2-1(舍去)

故r=根号2-1

故|z|=r=根号2-1

END