第 3 单元：微分：复合函数、隐函数和反函数 （链式法则、复合函数、aˣ 的导数、ln(√x) 的导数、cos³(x) 的导数、logₐx 的导数）(隐式微分、反函数的导数、反正弦的导数)（二阶导数）

 

链式法则

 

常见的链式法则误解

 

 

 

 例子：

 

 例子：

 

 

识别复合函数

 例子：

 

 

例子：利用链式法则求 cos³(x) 的导数

 

例子：利用链式法则求 √(3x²-x) 的导数

 

例子：利用链式法则求 ln(√x) 的导数

 例子：

 

 

示例：带表格的链式法则

 

aˣ 的导数（对于任何正基数 a）

 

 

 

 例子：

 

 

logₐx 的导数（对于任何正底 a≠1）

 

例子：

 

 

示例：利用链式法则求 7^(x²-x) 的导数

 

例子：利用链式法则求 log₄(x²+x) 的导数

 

 

例子：利用链式法则求 sec(3π/2-x) 的导数

 

 

 

例子：利用链式法则求 ∜(x³+4x²+7) 的导数

 

链式法则顶峰

例子：

 

 

证明链式法则

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

隐式微分

 

示例：隐式微分

 

 

示例：利用隐式微分求导数

 

例子：

 

 

 

例子：

 

 

显示显式和隐式微分给出相同的结果

 

 

 

 

 

反函数的导数

 

反函数的导数：根据方程

两边除h(x)

 

 

反函数的导数：来自表格

 例子：

 

 例子：

 

 

 

反正弦的导数

 

 

反余弦的导数

 

反正切的导数

 

 

 

 

区分函数：查找错误

 

 

在微分之前操作函数（使用之前可以先简化，例如除的使用乘的公式）

 

 

 

使用多种规则进行区分：策略

 

应用链式法则和乘积法则

 

 

应用链式法则两次

 

eᶜᵒˢˣ⋅cos(eˣ) 的导数

 

sin(ln(x²)) 的导数

 

二阶导数

 

 例子：

 

二阶导数（隐式方程）：求表达式

 

 

二阶导数（隐式方程）：求导数

 

例子：

 例子：注意y其实是1，就是dy/dx

 

例子：注意负号的符号要放最左边，其实就是-1

 

隐蔽衍生品

 

 

例题：