01 矩阵 题解

我们令 \(f(k)\) 表示一行有 \(k\) 个 \(1\) 的期望，则 \(f(k)=\dbinom{m}{k}\times\left(\frac{y}{x+y}\right)^k\times\left(\frac{x}{x+y}\right)^{m-k}\times (x+y)^m=\dbinom{m}{k}y^kx^{m-k}\)。

则 \(\mathbb{E}=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}i\cdot\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\dbinom{n}{j}f(i)^j\left(\displaystyle\sum_{k=i+1}^{m}f(k)\right)^{n-j}\)。

我们记 \(g(k)=\displaystyle\sum_{i=k+1}^{m}f(i)\)。

则原柿为 \(\mathbb{E}=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}i\cdot\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\dbinom{n}{j}f(i)^jg(i)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}i\cdot ((f(i)+g(i))^n-g(i)^n)\)。

时间复杂度：\(\mathcal O(m\log n)\)。

代码。