【CF1787C 题解】

【题意】

• 给定一个序列 \(\{a_n\}\)。

• 对于 \(\forall i(2\le i\le n-1)\) 求出数对 \((x_i, y_i)\) 满足 \(x_i+y_i=a_i, (x_i-s)(y_i-s)\ge 0\)。

• 求 \(a_1\times x_2 + y_2\times x_3 +\cdots + y_{n-1}\times a_n\) 的最小值。

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Solution

满足 \((x_i-s)(y_i-s)\ge 0\)，即满足 \(a_i\le s, b_i\le s\) 或者 \(a_i\ge s, b_i\ge s\)。

我们令 \(\min_i\) 表示 \(\min\{x_i, y_i\}\) 的最小值。

再令 \(\max_i\) 表示 \(\max\{x_i, y_i\}\) 的最大值。

则 \(x_i\) 和 \(y_i\) 一定为 \(x_i\to\min_i, y_i\to\max_i\) 或者 \(x_i\to\max_i, y_i\to\min_i\)。

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【证明】：

先得出 \((x_i, y_i)\) 的贡献，\(y_{i-1}\times x_i+y_i\times x_{i+1}\)。

如果 \(y_{i-1}<x_{i+1}\) 那么必然是 \(x_i\) 尽可能大，反之亦然。

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综上，我们可以 DP，令 \(f_{i, 0/1}\) 表示到了第 \(i\) 个位置，\(x_{i}\) 的值为 \(\min_{i}/\max_{i}\) 的最小值。

状态转移：

\[\begin{cases} f_{i, 0}=\min\{f_{i-1, 0}+\max_{i-1}\cdot\min_i, f_{i-1, 1}+\min_{i-1}\cdot\min_i\}\\ f_{i, 1}=\min\{f_{i-1, 0}+\max_{i-1}\cdot\max_i, f_{i-1, 1}+\min_{i-1}\cdot\max_i\} \end{cases} \]

代码。