莫比乌斯反演学习笔记

整除分块

这个是学习莫比乌斯反演需要的预备知识,几乎所有这类的题都需要用到这个。

考虑下面这个式子:

\[\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor \]

这个当然可以\(O(n)\)算,但是很多时候这样还不够快,于是下面有一个\(O(\sqrt{n})\)的算法。

通过打表可以发现,当\(i\)为连续一段时,后面那玩意都是一样的。

然后对于\(i\),最后一个和它相同的位置是\(n/(n/i)\),注意这里都是整除,然后共有\(O(\sqrt{n})\)个块,所以我们就可以每次跳一个块,快速算出结果,代码如下:

int n;read(n);
int ans=0,T=1;
while(T<=n) {
	int pre=T;T=n/(n/T);
	ans=ans+(T-pre+1)*(n/T);T++;
}
write(ans);

莫比乌斯函数

关于莫比乌斯函数,其实并不是一个很玄学的东西,它本质上就是一个容斥系数。

对于莫比乌斯函数,它写作\(\mu(d)\),定义如下:

  • \(\mu(1)=1\)
  • 对于\(d\)进行分解,\(d=\prod_{i=1}^ka_i^{p_i}\),若\(\forall i,p_i=1\),则\(\mu(d)=(-1)^k\)
  • 否则\(\mu(d)=0\)

然后对于这个函数有一个最为重要的性质:

\[\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1] \]

证明其实很简单,将\(n\)进行唯一分解,得到\(n=\prod_{i=1}^ka_i^{p_i}\)只需要考虑容斥,对于\(n\)的每一个因数只能选或不选,则:

\[\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\binom{k}{i}=[k=0] \]

然后\([k=0]\)其实等价于\([n=1]\),得证。

线筛也很简单,根据定义就可以了,代码:

void sieve() {
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++) {
        if(!vis[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int t,j=1;j<=tot&&i*pri[j]<maxn;j++) {
            vis[t=i*pri[j]]=1;
            if(!(i%pri[j])) {mu[t]=0;break;}
            mu[t]=-mu[i];
        }
    }
}

莫比乌斯反演

前置知识讲完了,其实真的很水

定义\(f(n)\)\(g(n)\),已知:

\[f(n)=\sum_{d|n}g(d) \]

然后已知\(f\),求\(g\)

其实这个和推容斥差不太多,由于我想把前面的莫比乌斯函数的性质用上,所以先说一句废话:

\[g(n)=\sum_{d|n}[\frac{n}{d}=1]g(d) \]

然后发现这个东西和上面长的很像,带进去:

\[\begin{align} g(n)&=\sum_{d|n}\sum_{i|\frac{n}{d}}\mu(i)g(d)\\ &=\sum_{d|n}g(d)\sum_{i|\frac{n}{d}}\mu(i) \end{align} \]

然后先枚举\(i\)

\[\begin{align} g(n)&=\sum_{i|n}\mu(i)\sum_{d|\frac{n}{i}}g(d) \end{align} \]

然后后面那个式子其实就是\(f\),所以:

\[g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d}) \]

然后就做完了。

这个东西就是莫比乌斯反演:

已知

\[f(n)=\sum_{d|n}g(d) \]

那么可以得到:

\[g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d}) \]

其实做题的话,直接把\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)带到题目给的式子里更好推一些。

最主要的还是多做题,做多了就会发现其实都是一个套路,还有就是式子要自己拿纸笔来推,这点很重要。

习题

(题目难度基本按顺序排列,推荐按顺序写)

[bzoj2301] [HAOI2011]Problem b

[bzoj2820] YY的GCD

[bzoj4407] 于神之怒加强版

[bzoj2693] jzptab

[bzoj3309] DZY Loves Math

[bzoj3529] [Sdoi2014]数表

[bzoj3994] [SDOI2015]约数个数和

[bzoj4816] [Sdoi2017]数字表格

posted @ 2018-12-05 14:20  Hyscere  阅读(144)  评论(0编辑  收藏