[bzoj3309] DZY Loves Math
Description
对于正整数n，定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数。例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0。
给定正整数a,b，求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b)。
Input
第一行一个数T，表示询问数。
接下来T行，每行两个数a,b，表示一个询问。
Output
对于每一个询问，输出一行一个非负整数作为回答。
Sample Input
4
7558588 9653114
6514903 4451211
7425644 1189442
6335198 4957
Sample Output
35793453939901
14225956593420
4332838845846
15400094813
HINT
【数据规模】
T<=10000
1<=a,b<=10^7
solution
前置知识：莫比乌斯反演
题目让求的是：
\[ans=\sum_{i=1}^n\sum _{j=1}^mf(gcd(i,j))
\]
然后通过莫比乌斯反演可以得到：
\[ans=\sum_{T=1}^{min(n,m)}\lfloor\frac{n}{T}\rfloor\lfloor\frac{m}{T}\rfloor\sum_{d|T}f(d)\mu(\frac{T}{d})
\]
然后令式子后面一块为\(g\)，即：
\[g(T)=\sum_{d|T}f(d)\mu(\frac{T}{d})
\]
显然这种题不线筛出这个东西不让过，
然后分解下\(d\)和\(T\)：
\[T=\prod_{i=1}^ka_i^{p_i},d=\prod_{i=1}^ka_i^{x_i}
\]
考虑\(\mu(\frac{T}{d})\)，显然对于任意\(i\),满足\(x_i=p_i\)或者\(x_i=p_i-1\)，否则\(\mu\)为0。
设\(res=f(T)\)，有\(num\)个\(p_i\)等于\(res\)，然后分类讨论：
若\(num=k\)，则\(f(d)=res\)的答案为：
\[\begin{align}
&\sum_{f(d)=res}f(d)\mu(\frac{T}{d})\\
=&res*\sum_{f(d)=res}\mu(\frac{T}{d})\\
=&res*\sum_{i=1}^k(-1)^{k-i}\binom{k}{i}\\
=&res*(1+(-1))^k-res*(-1)^k\\
=&res*(-1)^{k+1}
\end{align}
\]
\(f(d)=res-1\)的答案为：
\[\begin{align}
&\sum_{f(d)=res-1}f(d)\mu(\frac{T}{d})=(res-1)*(-1)^k
\end{align}
\]
综合起来，答案为\(res*(-1)^{k+1}+(res-1)*(-1)^k=(-1)^{k+1}\)。
否则，即\(num\neq f(T)\)，则\(f(d)=res\)的答案为：
\[\begin{align}
&\sum_{f(d)=res}f(d)\mu(\frac{T}{d})\\
=&res*\sum_{i=1}^{num}(-1)^{k-i}\binom{num}{i}*\sum_{i=0}^{k-num}(-1)^i\binom{k-num}{i}\\
=&res*\sum_{i=1}^{num}(-1)^{k-i}\binom{num}{i}*0=0
\end{align}
\]
同理\(f(d)=res-1\)的答案也为0，所以综合起来答案为0。
由于线筛的时候每个数是被最小的质因子筛掉的，所以考虑线筛的时候对于每个数最小质因子出现了多少次，以及不算这个质因子剩下的是多少，然后对于\(g\)讨论下就行了。
剩下的随便数论分块下就做完了，时间复杂度\(O(n+q\sqrt{n})\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
void read(int &x) {
x=0;int f=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
void print(int x) {
if(x<0) x=-x,putchar('-');
if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}
const int maxn = 1e7+1;
int f[maxn],pri[maxn/20],tot,num[maxn],lst[maxn];
bool vis[maxn];
void sieve() {
for(int i=2;i<maxn;i++) {
if(!vis[i]) pri[++tot]=i,f[i]=num[i]=lst[i]=1;
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<maxn;j++) {
vis[i*pri[j]]=1;
if(!(i%pri[j])) {
lst[i*pri[j]]=lst[i];
num[i*pri[j]]=num[i]+1;
if(lst[i*pri[j]]==1) f[i*pri[j]]=1;
else f[i*pri[j]]=(num[lst[i*pri[j]]]==num[i*pri[j]]?-f[lst[i]]:0);
break;
}
lst[i*pri[j]]=i;
num[i*pri[j]]=1;
f[i*pri[j]]=(num[i]==1?-f[i]:0);
}
}
//for(int i=1;i<=30;i++) printf("%d %d %d %d\n",i,f[i],lst[i],num[i]);;
for(int i=1;i<maxn;i++) f[i]=f[i-1]+f[i];
//for(int i=1;i<=20;i++) write(f[i]);
}
signed main() {
int t;read(t);
//int PRE=clock();
sieve();
//cerr << (double)(clock()-PRE)/CLOCKS_PER_SEC << endl;
while(t--) {
int n,m;read(n),read(m);
int T=1;ll ans=0;
while(T<=n&&T<=m) {
int pre=T;T=min(n/(n/T),m/(m/T));
ans+=1ll*(n/T)*(m/T)*(f[T]-f[pre-1]);T++;
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
