从今天开始学大物已经来不及了。

\[ \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \newcommand{\bx}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\ex}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bv}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\ev}{\end{vmatrix}} \newcommand{\span}{\text{span}} \newcommand{\lb}{\lambda} \newcommand{\gm}{\gamma} \newcommand{\ap}{\alpha} \newcommand{\bt}{\beta} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\tr}{\text{tr}} \newcommand{\diag}{\text{diag}} \newcommand{\rank}{\text{rank}} \newcommand{\lV}{\lVert} \newcommand{\rV}{\rVert} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\sg}{\sigma} \newcommand{\vp}{\varphi} \newcommand{\ps}{\psi} \newcommand{\zhong}{\Phi} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\om}{\omega} \newcommand{\Ra}{\Rightarrow} \newcommand{\Lra}{\Leftrightarrow} \newcommand{\d}{\text{d}} \newcommand{\df}{\dfrac} \]

这篇文章是对伟大pyq的剽窃。建议去读原文

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热学速记：

\[P=nkT=\dfrac{1}{3}nm\ol{v^2},k=\dfrac{R}{N_A} \]

\[\ol{\veps}=\dfrac{i}{2}kT \]

最概然速率：\(f'(v_p)=0 \Ra v_p=\sqrt{\dfrac{2RT}{\mu}}\)

平均速率：\(\ol{v}=\int^{\infin}_0 vf(v)dv=\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi \mu}}\)。

方均根速率：\(v_{rms}=\sqrt{\ol{v^2}}=\sqrt{\dfrac{3kT}{m}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{\mu}}\)

\[\ol{\lb}=\dfrac{\ol{v}}{\ol{Z}}=\dfrac{1}{\sqrt 2\pi d^2n} \]

理想气体内能 \(E=\dfrac{i}{2}\nu RT\)。

\[C_V=\dfrac{iR}{2}\\ C_P=C_V+R \]

\[pV^\gamma=\text{Const} \]

\[S=k\ln \Omega\\ S=R\ln V+C_{V,m} \ln T + S_0\\ dS=\dfrac{dQ}{T} \]

循环过程

\[\eta=1-\dfrac{Q_2}{Q_1}\\=1-\dfrac{T_2}{T_1} \]

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振动

简谐振动

受到恢复力 \(F=-kx\) 时，解得：

\[x=A\cos(\om t+\vp) \]

本征角频率 \(\om=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\)

\[a=-\om^2A\cos(\om t+\vp)=-\om^2x \]

能量：

\[E_k=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}m(-\om A\cos(\om t+\vp))^2 \]

积分得 \(\ol{E_k}=\dfrac{1}{4} kA^2\)，同理 \(\ol{E_p}=\dfrac{1}{4} kA^2\).

振动合成

同频率：

\[x=x_1+x_2=A_1\cos(\om t+\vp_1)+A_2\cos(\om t+\vp_2)=A\cos(\om t+\vp) \]

其中：

\[A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\vp_2-\vp_1)}\\ \tan \vp=\dfrac{A_1\sin \vp_1+A_2\sin \vp_2}{A_1\cos \vp_1+A_2\cos \vp_2} \]

推导：考虑 \(\cos(\om t+\vp_1)=\R(e^{i(\om t+\vp_1)})\) 展开。

同振幅：考虑和差化积

\[x=x_1+x_2=A\cos(\om t_1)+A\cos(\om t_2)=2A\cos(\dfrac{\om_2-\om_1}{2}t)\cos(\dfrac{\om_2+\om_1}{2}t) \]

在 \(\om_1,\om_2\) 接近时，可以将 \(2A\cos(\dfrac{\om_2-\om_1}{2}t)\) 看作振幅 \(A'\).

拍频： 拍频指振幅变化的频率。容易发现 \(\Delta v=v_1-v_2\)。

对两个同频率的相互垂直的简谐运动：

\[\bc x(t)=A_1\cos(\om t+\vp_1)\\ y(t)=A_2\cos(\om t+\vp_2)\\ \ec \]

我们可以消去 \(t\) 得到：

\[\dfrac{x^2}{A_1^2}+\dfrac{y^2}{A_2^2}-\dfrac{2xy}{A_1A_2}\cos(\vp_2-\vp_1)=\sin^2(\vp_2-\vp_1) \]

事实上，通过正交分解，我们可以将不垂直的简谐运动也使用上述技巧消去 \(t\)。

李萨如图: 将轨迹画下来。如果频率比是整数，可以得到封闭曲线。

1:1 时：椭圆、圆、或线段。

阻尼振动

受到粘性力 \(f=-\gm v\) 时：

\[-kx-\gm \dot x = m\ddot x \]

类似的记固有角频率 \(\om_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\)。

记阻尼系数 \(\bt=\dfrac{\gm}{2m}\)，于是：

\[\ddot x + 2\bt \dot x + \om_0^2 x = 0 \]

阻尼小时(\(\bt < \om_0\) 称欠阻尼)，解方程得到：

\[x=A_0\cos(\om t+\vp_0)e^{-\bt t} \]

其中 \(\om = \sqrt{|\om_0^2-\bt^2|}\)

临界阻尼（\(\bt = \om_0\)）时：

\[x=(C_1+C_2t)e^{-\bt t} \]

过阻尼时：

\[x=(C_1 e^{\om t}+C_2 e^{-\om t})e^{-\bt t} \]

当 \(\bt \le \om_0\) 时，有 \(E \approx E_0 e^{-2\bt t}\)。

\(\tau=\dfrac{1}{2\bt}\) 表示能量变为原来 \(1/e\) 的时间，称鸣叫时间或时间常量。

在减少相同份能量的时间内，震动次数越多，就认为性能越高。

定义品质因数 \(Q=2\pi \dfrac{\tau}{T}=\om \tau\)，越高越好。

受迫振动

设驱动力 \(F=H\cos (\om t)\)，运动方程变为：

\[\ddot x + 2\bt \dot x + \om_0^2 x = H \cos(\om t) \]

记 \(\om_1 = \sqrt{|\om_0^2-\bt^2|}\) 可以解得：

\[x=A_0e^{-\bt t}\cos(\om_1 t + \vp_0)+A\cos (\om t+\vp) \]

其中：

\[A=\dfrac{h}{\sqrt{(w_0^2-\om^2)^2+(2\bt\om)^2}},\vp=\arctan\dfrac{-2\bt \om}{\om_0^2-\om^2} \]

（真的会考吗？）

在 \(A\) 取得极大值时，称共振，此时 \(\om_r=\sqrt{\om_0^2-2\bt^2}\)。

波动

设 \(u\) 是速度，行波方程：

\[y=f(t-\dfrac{x}{u}) \]

对简谐波：

\[y=A\cos(\om(t-\dfrac{x}{u})+\vp) \]

波长 \(\lb=uT\)，角波数(单位长度内，相位变化量) \(k=\dfrac{2\pi}{\lb}=\dfrac{\om}{u}\)。

\[y=A\cos(\om t - kx + \vp) \]

形变

线变：胡克定律：应力 \(\dfrac{F}{S}\) 和 \(\dfrac{\Delta l}{l}\) 成正比。其比例 \(E\) 称为杨氏模量：

\[\dfrac{F}{S}=E\dfrac{\Delta l}{l} \]

剪切线变：剪应力 \(\dfrac{F}{S}\) 和角度的变化 \(\dfrac{\Delta d}{D}\) 成正比。其比例 \(G\) 称为剪切模量：

\[\dfrac{F}{S}=G\dfrac{\Delta d}{D} \]

体变：

\[\Delta p=-K\dfrac{\Delta V}{V} \]

压缩率 \(\kappa=1/K\)。

注意这里 \(D\) 是长度，\(\Delta d\) 是一段的宽度变化量。

能量的形式都是 \(\dfrac{1}{2}kx^2\)，这里 \(k\) 取 \(E\) 或者 \(G\)，\(x\) 取 \(\dfrac{\Delta *}{*}\)。

波动能量

我们研究一个小质元，设长度 \(l\)，切面积 \(S\)，质量密度 \(\rho\)，线密度 \(\rho_l\)。

对一个横波，这个质元受的合力为

\[F_2-F_1=SG((\dfrac{\delta y}{\delta x})_{x+\Delta x}-(\dfrac{\delta y}{\delta x})_{x})\\ =SG\dfrac{\delta^2 y}{\delta x^2}\Delta x\\ =\rho S \delta x \dfrac{\delta^2 y}{\delta t^2} \]

把 \(y\) 代入得 \( u=\sqrt{\dfrac{G}{\rho}} \)。

同样对纵波 \( u=\sqrt{\dfrac{E}{\rho}} \)。

特别的，设一条弦的张力 \(T\)，横波波速为 \( u=\sqrt{\dfrac{T}{\rho_l}} \)。

在简谐波下，同一质元的动能和弹性势能相等，大小均为：

\[\dfrac{1}{2}\Delta W=\dfrac{1}{2}\rho \om^2A^2\Delta V\sin^2 \om(t-\dfrac{x}{u}) \]

能量密度 \(w=\dfrac{\Delta W}{\Delta V}\)。

平均能量密度 \(\ol{w}=\dfrac{1}{2}\rho \om^2A^2\)。

能流密度定义为单位时间通过单位面积的波能量，也可以称波的强度。

\[I=\dfrac{\ol{P}}{S}=\ol{w}u \]

记 \(z=\rho u\) 称媒质的“特性阻抗”，大的称为波密介质，小的称为波疏介质。

半波损失

声波

声强级定义为:

\[L=10\lg \dfrac{I}{I_0} \]

波的叠加

衍射：缝越小，越显著。

频率相同会出现干涉。

驻波

拉近的弦/固体棒，可以产生驻波。固定端是波节（无位移），自由段是波腹（位移最大）。进而对波长有要求。

同理边界固定的膜或者固体片可能会产生二维驻波。

可形成驻波的系统在驱动率频率等于某一简正频率时振幅最大,被称为共振.

复波

某些介质中，相速度和频率有关，称色散介质。

考虑复波（频率不同的简谐波的叠加）：

\[x=x_1+x_2=A\cos(\om t_1-k_1x)+A\cos(\om t_2-k_2x)\\=2A\cos(\dfrac{\om_2-\om_1}{2}t-\dfrac{k_2-k_1}{2}x)\cos(\dfrac{\om_2+\om_1}{2}t-\dfrac{k_2+k_1}{2}x)\\ \]

记 \(\ol{\om}=\dfrac{\om_2+\om_1}{2},\om_g=\dfrac{\om_2-\om_1}{2}\)。同样定义 \(k\)。

相速度 \(u=\dfrac{\ol{\om}}{\ol{k}}\)。

群速度 \(u_g =\dfrac{\om_g}{k_g}\)

在比较连续的情况下：

\[u_g=\dfrac{d\om}{dk}=\dfrac{d(ku)}{dk}=u+k\dfrac{du}{dk}\\ =u+k\dfrac{du}{d\lb}\dfrac{d\lb}{d(2\pi/\lb)}=u-k\dfrac{\lb^2}{2\pi}\dfrac{du}{d\lb}\\ =u-\lb\dfrac{du}{d\lb.} \]

多普勒效应

令波源为 \(S\)，观测者为 \(R\)。

\[\nu_R=\dfrac{u+v_R}{u-v_S}\nu_S \]

当 \(v_S>u\) 时，出现冲击波或激波，阵面与运动方向夹角为：

\[\theta=\arcsin\dfrac{u}{v_s} \]

定义马赫数为 \(\sin^{-1} \theta = \dfrac{v_s}{u}\)。即是 u 的多少倍。

对电磁波，设相对速度和连线的夹角为 \(\vp\) 有：

\[\nu_R=\dfrac{\sqrt{c^2-v^2}}{c-v\cos\vp}\nu_S \]

气体分子运动论

广延量：可以叠加的宏观量（质量、体积） | 正比于分子数

强度量：不可以累加的宏观量（温度、压强）

平衡态：不受外界影响时，宏观性质不变的状态（微观上：动态平衡，有涨落）

(物)态参量为描写平衡态的宏观物理量,之间的方程称为物态方程.

稳定态：不随时间变化的的状态（一根两端接不同温恒温源的棍子）

准静态过程：每一时刻都处于平衡态的过程，即恢复到稳定态的时间极短.

绝热过程：与外界没有热交换的过程 \(dQ=0\)

可逆过程：存在操作能使系统和外界完全复原的过程，等价于无耗散的准静态过程.

P-V 图上一个点表示一个平衡态，一条线表示一个准静态过程.

热力学第 0 定律：AB热平衡，BC热平衡 -> AC热平衡。

理想气体状态方程

\(P\) 压强，\(V\) 体积，\(M\) 质量，\(\mu\) 摩尔质量，\(N\) 分子数，\(m\) 单分子质量，\(n=\dfrac{N}{V}\) 分子数密度，\(\nu\) 摩尔数。

\[P=\dfrac{\nu RT}{V}=\dfrac{MRT}{V\mu}=\dfrac{NmRT}{V\mu}=n\dfrac{R}{N_A}T=nkT \]

其中 \(R\) 称为普适气体常量，\(k\) 称为玻尔兹曼常数。

标况：P=1.013*10^5, T=273.15K

注意 \(\ol{v_x^2}=\dfrac{1}{3}\ol{v^2}\) 知：

\[P=\dfrac{1}{3}nm\ol{v^2} \]

进而：

\[\sqrt{\ol{v^2}}=\sqrt{\dfrac{3kT}{m}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{\mu}} \]

平均能量

单原子分子平均动能：

\[\ol{\veps_t}=\dfrac{1}{2}m\ol{v^2}=\dfrac{3P}{2n}=\dfrac{3}{2}kT \]

各自由度地位相等：

\[\ol{\veps}=\dfrac{i}{2}kT \]

刚性双原子 i=3+2

刚性多原子 i=3+3

分布

速率分布函数：

\[f(v)=\dfrac{dN_v}{Ndv} \]

\[\int^{+\infin}_0 f(v)dv=1 \]

麦克斯韦速率分布：

\[f(v)=4\pi v^2(\dfrac{m}{2\pi kT})^{3/2}\exp(\dfrac{-mv^2}{2kT}) \]

最概然速率：概率最大的速度，即 \(f'(v_p)=0 \Ra v_p=\sqrt{\dfrac{2RT}{\mu}}\)，此时 \(f(v_p)=\dfrac{1}{e}\sqrt{\dfrac{8m}{\pi kT}}\)

平均速率：\(\ol{v}=\int^{\infin}_0 vf(v)dv=\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi \mu}}\)。

方均根速率：\(v_{rms}=\sqrt{\ol{v^2}}=\sqrt{\dfrac{3kT}{m}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{\mu}}\)

定义约化速率 \(u=\dfrac{v}{v_p}\)，则可以用来估算:

\[f(v)=\dfrac{4}{\sqrt \pi} u^2\exp(-u^2)\dfrac{du}{dv} \]

单位时间面积碰壁数 \(\Gamma=\dfrac{1}{4}n\ol{v}\)。

玻尔兹曼分布： 粒子数和 \(e^{-E/kT}\) 成正比。例：气体分子按高度分布 \(n=n_0e^{-mgh/kT}\)。

自由程

\[\ol{Z}=\sqrt 2\pi d^2\ol{v}n \\ \ol{\lb}=\dfrac{\ol{v}}{\ol{Z}}=\dfrac{1}{\sqrt 2\pi d^2n} \]

范德瓦尔斯方程

分子有体积，故 \(p=\dfrac{RT}{V_m-b}\)。

分子有引力，产生内压强大小和 \(n^2\) 成正比，又 \(n\) 和 \(V_m\) 成反比，即 \(p_{in}=\dfrac{a}{V_m^2}\)。

\[(P+\dfrac{m^2}{M^2}\dfrac{a}{V^2})(V-\dfrac{m}{M}b)=\dfrac{m}{M}RT \]

输运过程

系统自发地从非平衡态向平衡态过渡的过程。

主要有三种 内摩擦/热传导/扩散。

黏力 \(df\) 和流速梯度和面积成正比，比例记为粘度 \(\eta\)：

\[df=-\eta(\dfrac{du}{dz})_{z_0}dS \]

此外 \(\eta=\dfrac{1}{3}nm\ol{v}\ol{\lb}\)

[太难了，先摆了]

热力学第一定理

内能为分子平均能量和分子间平均势能的总和,任意情况均存在定义.

热是传递的那部分内能（意思是过程量）

\[dQ=dE+dW \]

（定压/定容）热容量：\(C'=\dfrac{dQ}{dT}\)

摩尔热容量：\(C=\dfrac{C'}{\nu}\)

比热容：\(c=\dfrac{C}{M}\)

理想气体准静态过程

回忆：理想气体内能 \(E=\dfrac{i}{2}\nu RT\)。

范式气体内能 \(E=\dfrac{i}{2}\nu RT-\dfrac{\nu^2a}{V}\)

等容：

\[C_V=\dfrac{C'_V}{\nu}=\dfrac{dQ}{\nu dT}=\dfrac{dE}{\nu dT}=\dfrac{iR}{2} \]

等压：

\[C_P=\dfrac{dE}{\nu dT}+\dfrac{dW}{\nu dT}=C_V+R \]

即迈耶公式：\(C_P=C_V+R\)

绝热过程

根据 \(dA+dE=0\) 知：

\[\dfrac{i}{2}\nu RdT+pdV=0 \]

又根据 \(pV=\nu RT\) 知：

\[pdV + Vdp=\nu RdT \]

定义 \(\gamma=\dfrac{C_P}{C_V}=\dfrac{i+2}{i}\) 可以算得：

\[pV^\gamma=\text{Const} \]

也由此可知 \(TV^{\gamma-1},T^{\gamma}p^{1-\gamma}\) 也是常数。

循环过程

如果循环的各个阶段都是准静态的，那么可以在 p-V 图上用封闭曲线表示，面积表示功。

顺时针对外做功，称正循环。反之称逆循环。

吸热 \(Q_1\)，放热 \(Q_2\)，则做功 \(A=Q_1-Q_2\)。

定义效率 \(\eta=\dfrac{A}{Q_1}\)。易见 \(\eta=1-\dfrac{Q_2}{Q_1}\)。

制冷过程，此时效率 \(w=\dfrac{Q_2}{A}\) 可以大于 \(1\)。在卡诺循环里 \(w_C=\dfrac{T_2}{T_1-T_2}\)。

卡诺循环

经过一些繁琐的计算可知 \(\eta_C=1-\dfrac{T_2}{T_1}\)。

卡诺定理：相同高温热库和低温热库的可逆热机，效率相等。不可逆热机效率不高于可逆热机。

热力学第二定律

热量不能自动的从低温物体传向高温物体。

其唯一效果是热转变为功的过程是不可能的。

热力学第二定律是宏观统计规律的规律，所以微观上涨落了就可以不符合。

热力学几率或者微观状态数目 \(\Omega\) 为一个宏观状态对应的微观状态数目,状态包括位置和速度,假设各状态可能性相同即平权.

玻耳兹曼熵公式

热力学几率越大，宏观状态越无序，熵即描述无序度的量。所以玻耳兹曼熵被定义为：

\[S=k\ln \Omega \]

\(k\) 就是玻耳兹曼常数.热力学第二定律本质为孤立系统 \(\Delta S>0\)（熵增加原理）

孤立系进行可逆过程时熵不变：\(\Delta S=0\)

克劳修斯熵公式

\[S=R\ln V+C_{V,m} \ln T + S_0 \]

进而：

\[dS=\dfrac{dQ}{T} \]

在任意系统的可逆过程中皆成立。

对于理想气体可逆过程:

\[\Delta S =\nu(C_v \dfrac{T_1}{T_0} + R\ln\dfrac{V_1}{V_0}) \]